¿Qué significa esta integral compleja?

Question

¿es 2i el área del semicírculo? El área del semicírculo en R^2 es pi/2 para un círculo de radio 1.

Answer 1

La expresión de tu pregunta es la integral de contorno de la función constante $$f(z)=\frac{1}{i}$$ sobre el semicírculo $C$ de radio $1$ centrado en $0$ en el plano complejo.

$$\oint_C f(z)dz$$ Calculemos $$z=e^{it}\implies dz=ie^{it}dt$$ Así, $$\oint_C \frac{1}{i}dz=\int_0^\pi e^{it}dt=2i$$