Derivar la representación alternativa de las ecuaciones paramétricas del primer cuadrante de una circunferencia.

Question

En un libro de matemáticas que estoy leyendo, el autor menciona que el primer cuadrante de un círculo puede ser definido por las ecuaciones paramétricas \begin{align*} x(u)&=\cos{u}\\ y(u)&=\sin{u}, \end{align*} para $0\leq u\leq\frac{\pi}{2}$ . El autor continúa diciendo que al establecer $t=\tan(u/2)$ se puede derivar la representación alternativa \begin{align*} x(t)&=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ y(t)&=\frac{2t}{1+t^2}, \end{align*} para $0\leq t\leq 1$ .

Consideremos la función $x$ por un momento. Entiendo que si $t=\tan(u/2)$ entonces $u=2\arctan{t}$ y $\cos{u}=\cos(2\arctan{t})=(1-t^2)/(1+t^2).$ Lo que no puedo ver es cómo esto es igual a $x(t)$ . Parece que debería ser igual a $x(2\arctan{t})$ ¡! Cuando trato de calcular $x(t)=x(\tan(u/2))$ inevitablemente me quedo atascado y no puedo llegar a $(1-t^2)/(1+t^2)$ .

¿Puede alguien ayudarme a conectar los puntos aquí?

Answer 1

Creo que tu confusión viene del hecho de que $x\mapsto x(u)$ y $x\mapsto x(t)$ no son la misma función, a pesar de tener el mismo nombre. Podemos ser un poco más precisos:

Considere $x(u) = \cos u$ y que $u = 2\arctan t$ . Entonces $$x(u) = x(2\arctan t) = \cos(2\arctan t) = \frac{1-t^2}{1+t^2}.$$ Ahora, definamos $x_1(t)$ por $$x_1(t) = x(2\arctan t) = \frac{1-t^2}{1+t^2}.$$ Del mismo modo, podemos empezar con $y(u)$ y llegar a $$y_1(t) = y(2\arctan t) = \frac{2t}{1+t^2}.$$ Así que las funciones $x,y$ y $x_1,y_1$ son de hecho funciones distintas, aunque puede pensar en $x_1$ y $y_1$ como composiciones de $x$ y $y$ con $2\arctan t$ .

Lo importante aquí es que $$x_{1}^2(t)+y_{1}^2(t) = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 + \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{1 -2t^2 + t^4 + 4t^2}{1+2t^2 + t^4} = \frac{1+2t^2+t^4}{1+2t^2+t^4} = 1,$$ por lo que esta parametrización da, de hecho, el círculo unitario.