Consideremos un espacio vectorial de dimensión finita $V = F^n$ para algún campo $F$ . (Para simplificar, se puede suponer que $F= \mathbb R$ o $F= \mathbb C$ .) Consideremos ahora una forma bilineal
$$b : \begin{array}{l} \\ V \times V \to F \\ (u,v) \mapsto b(u,v) = u^t A v\end{array}$$
con $A \in F^{n \times n}$ .
Ahora identifiquemos $V \times V = F^{2n}$ . Ahora construimos una "función de barrido" $\varphi : V \times V \to V \times V$ que permuta el $2n$ parámetros escalares. Por ejemplo, para $n=2$ podríamos tener $\phi(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_2,x_1,x_4,x_3)$ . Por último, definimos la función
$$f = b \circ \varphi : V \times V = F^{2n} \to F$$
Así que consideramos $f$ en función de $2n$ argumentos en $F$ .
Sólo con ser capaz de evaluar $f$ en puntos arbitrarios, ¿es posible determinar qué $n$ de la $2n$ Los argumentos van a uno u otro (a la izquierda " $u$ " o "v" derecha) argumento de $b$ ?
La respuesta a esto en general es no que es fácil de ver para los casos $A=0$ o $A=I$ .
Pero: ¿Podemos encontrar todas las matrices $A$ por lo que la pregunta anterior puede responderse con sí ? (O podemos al menos encontrar alguna clase de matrices $A$ para los que esto es válido). También me gustaría recibir respuestas que sólo cubran el caso de un campo específico como $F= \mathbb R, \mathbb Q, \mathbb C$ .
