¿Polinomios multiplicando cada vez disminuye el número de términos?

Question

Sea $p$ y $q$ polinomios (quizás en varias variables, sobre un campo), y Supongamos que tienen términos de cero de $m$ y $n$ respectivamente. Podemos asumir $m\leq n$. ¿Siempre pasa que el producto $p\cdot q$ tiene menos de términos de $m$ cero?

Pregunto esto porque recuerdo vagamente ver una respuesta positiva en el libro en algún lugar (probablemente cerca de cálculo o algoritmos puesto que los polinomios eran difíciles de manejar). Si alguien sabe agradecería mucho qué libro se trata de él.

Answer 1

$$(x^2-2x+2) (x ^ 2 + 2 x + 2) = x ^ 4 + 4. $$

Answer 2

Sí, en el caso de $p = $ q aún puede suceder. Ver aquí: http://mathworld.wolfram.com/SparsePolynomialSquare.html

Answer 3

He aquí un ejemplo elemental. Comience con la conocida identidad $x^n - 1 = (x-1) (x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1)$. Si $n$ es impar, podemos factor $x^n+1$ de un modo similar por el volteo de los signos: $x^n + 1 = (x+1) (x^{n-1} x^{n-2} + \ldots - x + 1)$. Ahora mezclar y hacer coincidir los dos: $$\begin{align*} x^{2n} - 1 y= (x^n - 1) (x^n + 1) \\ y= (x-1) (x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1) (x+1) (x^{n-1} x^{n-2} + \ldots - x + 1) \\ y= (x+1) (x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1) (x-1) (x^{n-1} x^{n-2} + \ldots - x + 1) \\ y= (x^n + 2x^{n-1} + 2x^{n-2} + \ldots + 2x + 1) (x^n - 2x^{n-1} + 2x^{n-2} - \ldots + 2x - 1) \end{align*}$$ No veo una generalización obvia incluso a valores de $n$.