Sea pp y qq polinomios (quizás en varias variables, sobre un campo), y Supongamos que tienen términos de cero de mm y nn respectivamente. Podemos asumir m≤nm≤n. ¿Siempre pasa que el producto p⋅qp⋅q tiene menos de términos de mm cero?
Pregunto esto porque recuerdo vagamente ver una respuesta positiva en el libro en algún lugar (probablemente cerca de cálculo o algoritmos puesto que los polinomios eran difíciles de manejar). Si alguien sabe agradecería mucho qué libro se trata de él.
Sí, en el caso de p=p= q aún puede suceder. Ver aquí: http://mathworld.wolfram.com/SparsePolynomialSquare.html
He aquí un ejemplo elemental. Comience con la conocida identidad xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+…+x+1)xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+…+x+1). Si nn es impar, podemos factor xn+1xn+1 de un modo similar por el volteo de los signos: xn+1=(x+1)(xn−1xn−2+…−x+1)xn+1=(x+1)(xn−1xn−2+…−x+1). Ahora mezclar y hacer coincidir los dos: x2n−1y=(xn−1)(xn+1)y=(x−1)(xn−1+xn−2+…+x+1)(x+1)(xn−1xn−2+…−x+1)y=(x+1)(xn−1+xn−2+…+x+1)(x−1)(xn−1xn−2+…−x+1)y=(xn+2xn−1+2xn−2+…+2x+1)(xn−2xn−1+2xn−2−…+2x−1) No veo una generalización obvia incluso a valores de n.
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