Mapa conforme del exterior del círculo unitario al semiplano superior

Question

Estoy tratando de encontrar un mapa conforme del espacio $\Omega = \mathbb{H}\setminus\{z : |z-\frac{i}{2}|\leq\frac{1}{2}\}$ al plano medio superior. Creo que he llegado a la mayor parte del camino, pero quería comprobar la última parte. Ambos $\Omega$ y $\mathbb{H}$ están simplemente conectados, por lo que puedo decir, así que esto debería ser posible.

Mi idea era mapear esto primero al exterior del círculo unitario, y luego de ahí a $\mathbb{H}$ . La primera parte puede lograrse componiendo $f_1(z)=2z-i$ , $f_2(z)=-iz$ y $f_3(z)=z^2$ para bajar/expandir el disco a $\mathbb{D}$ y extender el exterior del lado derecho a todo el exterior de $\mathbb{D}$ .

Ahora, en este punto, yo piense en que $f_4(z)=i\frac{z-1}{z+1}$ mapa de la voluntad $\mathbb{C}\setminus\mathbb{D} \to \mathbb{H}$ pero tengo problemas para probarlo. Si esto funciona, entonces la composición de esas funciones sería la transformación que estoy buscando. ¿Estoy completamente equivocado aquí, o no?

Answer 1

Su composición, por desgracia, no funciona. Tenemos

$$\Omega_1 = f_1(\Omega) = \{z : \operatorname{Im} z > -1\} \setminus \overline{\mathbb{D}},$$

y por lo tanto

$$\Omega_2 = f_2(\Omega_1) = \{z : \operatorname{Re} z > -1\} \setminus \overline{\mathbb{D}},$$

y ambos $f_1$ y $f_2$ son biholomorfos. Pero entonces $f_3$ no es inyectiva en $\Omega_2$ . Si bien es cierto que $f_3(\Omega_2) = \mathbb{C}\setminus \overline{\mathbb{D}}$ el mapeo es sólo localmente conforme, no conforme. Y $\mathbb{C}\setminus \overline{\mathbb{D}}$ no está simplemente conectada, por lo que no existe un mapa conforme desde ella hacia el semiplano superior (se obtiene un mapa conforme $\widehat{\mathbb{C}}\setminus \overline{\mathbb{D}} \to \mathbb{H}$ de $f_4$ Sin embargo, no se trata de un problema de salud, sino de un problema de seguridad.)

Para obtener un mapa conforme $\Omega \to \mathbb{H}$ la forma habitual es comenzar utilizando una transformación de Möbius para mapear el punto de contacto de las dos curvas límite a $\infty$ . Eso mapea las dos curvas límite a líneas paralelas (ya que ambas son círculos o líneas rectas), y $\Omega$ a una franja paralela. Trazar una franja paralela conforme a un semiplano es un ejercicio estándar.

Tomando $g_1(z) = \frac{1}{z}$ para la transformación de Möbius, la línea real se mapea a sí misma (intercambiando $0$ y $\infty$ ), y el círculo $\left\lvert z - \frac{i}{2}\right\rvert = \frac{1}{2}$ se asigna a la línea $\operatorname{Im} z = -1$ y $\Omega$ a la franja paralela $\{ z : -1 < \operatorname{Im} z < 0\}$ entre estas dos líneas.

El mapa $g_2(z) = \exp\left(\pi\left(z + \frac{i}{2}\right)\right)$ mapea conformalmente la franja al semiplano derecho, y una rotación mapea entonces el semiplano derecho al superior. En conjunto, obtenemos el mapa conformacional

$$F \colon z \mapsto i\cdot \exp\left(\pi\left(\frac{1}{z}+\frac{i}{2}\right)\right)$$

de $\Omega$ a $\mathbb{H}$ .