Prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para expectativas condicionales

Question

Estoy haciendo una suposición salvaje y digo que esta es probablemente una pregunta con una respuesta trivial (declarada como ejercicio casi en todas partes), pero como tengo poco tiempo y mi mente está totalmente frita, agradecería cualquier ayuda. Si omití un post descuidadamente, siéntase libre de cerrar/borrar esta pregunta.

Como puedes ver en el título, estoy interesado en demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para expectativas condicionales:

$$\mathbb{E}(XY|\mathcal{A})^2 \leq \mathbb{E}(X^2|\mathcal{A})\mathbb{E}(Y^2|\mathcal{A})$$

para todos $X,Y \in \mathcal{L}^2(\mathbb{P})$ para alguna medida de probabilidad $\mathbb{P}$ y una sub--álgebra $\sigma$- $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}$.

Ya he intentado abordar esta pregunta usando la desigualdad CS regular en conjunto con la propiedad de contracción de las expectativas condicionales, pero esa cadena de desigualdades se rompe en el último paso. También intenté sustituir las expectativas condicionales en la desigualdad regular, pero eso tampoco llevó a ninguna parte.

Estoy casi seguro de que esta es una demostración de una línea, pero después de estudiar todo el día no puedo verlo realmente. Tengo un semestre de teoría de la medida y estocástica, así que siéntase libre de comentar/publicar cualquier enfoque dentro de un razonable nivel de habilidad. Gracias por su atención.

Answer 1

Uno puede modificar muy fácilmente una de las pruebas estándar de la desigualdad clásica de Cauchy-Schwarz. Dado que $(X-Y)^2\geq 0$ tenemos $$ 0\leq\mathbb E[(X-Y)^2|\mathcal A]=\mathbb E[X^2|\mathcal A]+\mathbb E[Y^2|\mathcal A]-2\mathbb E[XY|\mathcal A]. $$ Si reemplazamos $X$ por $\frac{(\mathbb E[Y^2|\mathcal A]+\epsilon)^{1/4}}{(\mathbb E[X^2|\mathcal A]+\epsilon)^{1/4}}X$ y $Y$ por $\frac{(\mathbb E[X^2|\mathcal A]+\epsilon)^{1/4}}{(\mathbb E[Y^2|\mathcal A]+\epsilon)^{1/4}}Y$ y notamos que los factores delante de $X$ y $Y$ son $\mathcal A$-medibles, obtenemos $$ \mathbb E[XY|\mathcal A]\leq \frac 1 2\frac{\mathbb E[X^2|\mathcal A](\mathbb E[Y^2|\mathcal A]+\epsilon)^{1/2}}{(\mathbb E[X^2|\mathcal A]+\epsilon)^{1/2}}+\frac 1 2\frac{\mathbb E[Y^2|\mathcal A](\mathbb E[X^2|\mathcal A]+\epsilon)^{1/2}}{(\mathbb E[Y^2|\mathcal A]+\epsilon)^{1/2}}. $$ Al dejar que $\epsilon\searrow 0$, obtenemos $$ \mathbb E[XY|\mathcal A]\leq \mathbb E[X^2|\mathcal A]^{1/2}\mathbb E[Y^2|\mathcal A]^{1/2}. $$

Answer 2

Consideramos un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $. Dado un vector aleatorio $\textbf{X}=(X, Y)$ y un campo $\sigma$ $\mathcal{A} \subset \mathcal{F}$, un teorema dice que la probabilidad condicional regular existe.

La probabilidad condicional regular es una medida aleatoria $P(\omega, A)$ tal que $P(\omega, \cdot)$ es una probabilidad en $(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}\{\mathbb{R}^2\})$, y $P(\cdot, A) \in \mathcal{A}$ para cada $A \in \mathcal{B}\{\mathbb{R}^2\} $, y $E[h(\textbf{X})|\mathcal{A}](\omega)=\int_{\mathbb{R}^2} h(x,y) P(\omega,dxdy) $ $c.s.$ para cada función Borel medible $h \in \mathcal{B}\{\mathbb{R}^2\}$.

Luego, definimos $h_0(x,y)=xy, h_1(x,y)=x^2, h_2(x,y)=y^2$, tenemos que $E[h_i(X,Y)|\mathcal{A}](\omega)= \int _{\mathbb{R}^2} h_i(x,y) P(\omega,dxdy) $ $c.s.$. Para cada $\omega$, $P(\omega, \cdot)$ es una probabilidad, por lo tanto se cumple la desigualdad de Cauchy: $$\int _{\mathbb{R}^2} xy P(\omega,dxdy)^2 \le \int _{\mathbb{R}^2} x^2 P(\omega,dxdy) \int _{\mathbb{R}^2} y^2 P(\omega,dxdy) .$$ Entonces tenemos $$E[XY|\mathcal{A}]^2 \le E[X^2|\mathcal{A}]E[Y^2|\mathcal{A}] \quad c.s.$$ Este método también se puede utilizar para demostrar las desigualdades de Holder y Minkowski para la esperanza condicional.