Supongamos que tengo esta métrica:
$$ ds^2 = \frac{1}{x^2}(dx^2-dy^2) $$
Quiero encontrar sus campos vectoriales de muerte. Por inspección, veo que la métrica posee la isometría $y\to y+\text{constant}$ , por lo que puedo escribir inmediatamente el siguiente vector de muerte:
$$ \xi = (0,1) $$
Sin embargo, si luego utilizo la ecuación de Killing $\nabla_i \xi_j + \nabla_j \xi_i = 0 $ obtengo el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales:
$$ \begin{align*} \partial_x \xi_x + \frac{1}{x}\xi_x=0 \\ \partial_y \xi_y + \frac{1}{x}\xi_x=0 \\ \partial_x \xi_y+\partial_y\xi_x+\frac{2}{x}\xi_y = 0 \end{align*} $$
El vector de la muerte $(0,1)$ Encontré por inspección que satisface las dos primeras ecuaciones, pero no la última. Esto es imposible.
He comprobado si las ecuaciones diferenciales son correctas utilizando el paquete xCoba para calcular las derivadas covariantes y efectivamente lo son. Así que no entiendo qué está pasando.
