Demostrar que si $|f(x,y)|\leq x^2+y^2$ para todos $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ entonces $f$ es diferenciable en $(0,0)$

Question

Mi intento:

Queremos

$$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{|f(x,y)-L_{(0,0)}(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 \tag1$$

Al establecer el teorema del apretón/sandwich tenemos

$$\left|\frac{|f(x,y)-L_{(0,0)}(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}}-0\right| $$

Por la desigualdad del triángulo:

$$\leq \frac{|f(x,y)|+ |L_{(0,0)}(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

También desde nuestra suposición $f(0,0)\leq0^2+0^2=0$

$$\leq \frac{0+|L_{(0,0)}(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Expandiendo la linealización y utilizando de nuevo nuestra hipótesis:

$$=\frac{|f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{|0+ f_x(0,0)x+f_y(0,0)y|}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Aquí es donde estoy atascado, ¿cómo puedo proceder para obtener un límite $\to$ 0?
¿O hay un enfoque mejor para este problema?

EDIT: he intentado encontrar las derivadas parciales utilizando la definición
(ya que el límite anterior se cumpliría si los parciales en $(0,0)$ es $0$ )

Reclamación:

$$f_x(0,0) = \lim\limits_{h\to0} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} = 0$$

Prueba: $$\left|\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}-0\right|\leq\frac{|f(0+h,0)|+|f(0,0)|}{|h|}\leq\frac{|h^2|+|0|}{|h|}=|h|\to0$$

Por lo tanto, por apretar (y por simetría) tanto $f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$

Por lo tanto, la ecuación el límite $(1)$ va a $0$ y por lo tanto $f$ es diferenciable en $(0,0)$

¿Sería esta una respuesta completa?

Answer 1

Todo esto es muy laborioso. Una función $f:\Bbb R^2\to\Bbb R$ es diferenciable en $(0,0)$ con la derivada $a$ si $f(v)-f(0,0)=a\cdot v+o(|v|)$ como $v\to0$ donde $v$ es un vector, $a\cdot v$ es el producto punto de $a$ y $v$ y $|v|$ es la longitud euclidiana de $v$ . Aquí $$f(v)=(0,0)\cdot v+O(|v|^2)$$ así que $f$ si es diferenciable con la derivada $(0,0)$ en el origen.

Answer 2

$|f_x(0,0)|= \left|\displaystyle \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h,0) - f(0,0)}{h}\right|=\displaystyle \lim_{ h \to 0}\left|\dfrac{f(h,0)}{h}\right|\le\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{h^2+0^2}{|h|}=0$ y la otra parcial en $(0,0)$ también es $0$ por lo que el numerador es $0$ por lo que la fracción es $0$ .

Nota : Simplemente continúo lo que dejaste, y para completar la prueba usarías todo el trabajo que empezaste.

Answer 3

Como ha demostrado en su pregunta, $f(0,0)=0$ y $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0)}{\sqrt{x^2 +y^2}}=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{f(x,y) - 0}{\sqrt{x^2 +y^2}} = \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2 +y^2}}.$$

Así que basta con demostrar que el límite de la derecha existe.

Reclamación: $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2 +y^2}}= 0$ .

Prueba: Obsérvese que

$$\left|\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right| \leq \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2 +y^2}} = \sqrt{x^2+y^2}.$$

Por lo tanto, $\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2 +y^2}}\rightarrow 0$ como $(x,y)\rightarrow 0$ .