Cómo encontrar el límite de esta función - con la notación de suma, es decir, la notación Sigma

Question

Encuentre el valor de $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac 1{n^4}\left[1\left(\sum^n_{k=1}k\right)+2\left(\sum^{n-1}_{k=1}k\right)+3\left(\sum^{n-2}_{k=1}k\right)+\dots+n.1\right]$

Por favor, guíen cómo proceder en este caso .....Gracias..

Aquí la respuesta es :

El límite requerido es $\dfrac{1}{24}$

Answer 1

La suma del primer $n$ números naturales es bien conocido por ser $$ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}. $$ Por lo tanto, la expresión entre los paréntesis puede escribirse como $$ \left[\frac{n(n+1)}{2}+2\frac{(n-1)n}{2}+3\frac{(n-2)(n-1)}{2}+\cdots +n\right] $$ o en suma-nota como $$ \sum_{k=1}^n\left(k\frac{(n+1-k)(n+2-k)}{2}\right). $$ Ahora multiplique los paréntesis en el numerador y sume cada término por separado - esto sólo requiere el conocimiento de las sumas: $$ \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}. $$ Por último, divide cada término por $n^4$ y que $n\to\infty$ .

Answer 2

$$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac 1{n^4}\left[1\left(\sum^n_{k=1}k\right)+2\left(\sum^{n-1}_{k=1}k\right)+3\left(\sum^{n-2}_{k=1}k\right)+\dots+n.1\right]=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^4}\left[1\dfrac{n(n+1)}{2}+2\dfrac{(n-1)(n)}{2}+\dots +k\dfrac{(n-k+1)(n-k+2)}{2}+\dots+n\cdot1\right]=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^4}\sum\limits_{k=1}^{n}k\dfrac{(n-k+1)(n-k+2)}{2}=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^4}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k}{2}((n-k)^2+3(n-k)+2)=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^4}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k}{2}\left((n-k)^2+3(n-k)\right)+\dfrac{n(n+1)}{2}\right)=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^4}\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{k(n-k)^2}{2}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^4}\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{3k(n-k)}{2}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^4}\dfrac{n(n+1)}{2}=$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1-0}{n}\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{\frac{k}{n}(1-\frac{k}{n})^2}{2}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1-0}{n^2}\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{3\frac{k}{n}(1-\frac{k}{n})}{2}+0=$$ $$\int_{0}^{1}\dfrac{x(1-x)^2}{2}dx+0\cdot \int_{0}^{1}\dfrac{3x(1-x)}{2}dx=\dfrac{1}{24}$$

Nota: Utilizamos el hecho de que el límite de las sumas de Riemann converge a la integral.

Answer 3

Puede escribir su expresión como

$$\frac{1}{n^4}\sum_{l=1}^{n}l\sum_{k=1}^{n+1-l}k= \frac{1}{n^4}\sum_{l=1}^{n}l\frac{(n+1-l)(n+2-l)}{2} = \\ = \frac{1}{2n^4}\sum_{l=1}^{n}l(n^2+3n-2nl+2-3l +l^2)=\\ =\frac{1}{2n^4}\left\{ n^2\sum_{l=1}^{n}l+ 3n\sum_{l=1}^{n}l- 2n\sum_{l=1}^{n}l^2 +2\sum_{l=1}^{n}l-3\sum_{l=1}^{n}l^2+ \sum_{l=1}^{n}l^3 \right\}$$

Ahora considere que sólo los términos con $n^4$ tendrá un límite no nulo (todas las sumas con potencias $l^p$ aportará un término con $n^{p+1}$ ). Todos los términos de orden inferior tienen un límite de cero. Esto significa que el límite se puede escribir como

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n^4}\left\{\frac{n^4}{2} -\frac{2n^4}{3} + \frac{n^4}{4}\right\}= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^4}{24n^4} = \frac{1}{24} $$

[Tenga en cuenta que no es necesario recordar (o buscar) todas las fórmulas para las sumas $\sum_{l=1}^{n}l^p$ Siempre y cuando sepas que $\sum_{l=1}^{n}l^p = \frac{n^{p+1}}{p+1} +$ términos de orden inferior].