Factorización de la matriz triangular inferior de Toeplitz

Question

¿Es posible factorizar una matriz de Toeplitz triangular inferior, utilizando matrices binarias y un vector de elementos?

Por ejemplo, la matriz Toeplitz $$\left[\begin{array} \\ a&0&0&0\\ b&a&0&0\\ c&b&a&0\\ d&c&b&a \end{array}\right]$$ utilizando el vector $$\left[\begin{array} .a\\b\\c\\d\end{array}\right]$$ y otras matrices binarias (es decir, con elementos de sólo $0,1$ )?

Answer 1

Haciendo una búsqueda en Google de "Matriz Toeplitz triangular inferior" aparece esto:

ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/research/papers/TRENCH_TN_6.PDF

con el título "Inversos de matrices de Toeplitz triangulares inferiores".

Esto parece útil.

Answer 2

Claro, este GNU Octave script lo hace

T = toeplitz(rand(4,1),[0,0,0,0]);
t = T(:,1); % first column
P = diag(ones(6,1),1) + diag(1,-6); P  = inv(P);
Z = 0*P;
M= [P^0,Z,Z,Z;Z,P^1,Z,Z;Z,Z,P^2,Z;Z,Z,Z,P^3];
v=M*kron(ones(4,1),[zeros(3,1);t]);
T-reshape(v,[7,4])(4:7,:)

Las matrices binarias utilizadas son generadoras de la representación matricial del grupo cíclico $C_7$ : ( $\bf P$ en el código)

Su exponente se coloca a lo largo de la diagonal y rellena el resto con ceros. Luego rellena el $(a,b,c,d)^T$ vector con 3 ceros (o $N-1$ ceros, donde $N$ es el tamaño del vector)

Probablemente se puede aplicar un recorte para hacerla más pequeña y ordenada.

La "remodelación" y la ordenación pueden llevarse a cabo mediante matrices de selección binarias.