¿Cuál es la idea de mostrar esta propiedad de una función a partir de su transformada de Fourier?

Question

Dejemos que $f\in \mathcal{M}(\mathbb{R})$ sea una función de disminución moderada tal que la transformada de Fourier $\mathfrak{F}(f)$ es continua y satisface:

$$\mathfrak{F}(f)(\xi) = O\left(\dfrac{1}{|\xi|^{1+\alpha}}\right), \quad \text{as $ |xi|\\toinfty $}$$

donde $\alpha \in (0,1)$ . Quiero demostrar que $f$ satisface la condición de Hölder de orden $\alpha$ :

$$|f(x+h)-f(x)|\leq M|h|^\alpha, \quad \text{with $ M> 0 $ and for all $ x,h en \Nmathbb{R} $}.$$

Ahora la condición de $\mathfrak{F}(f)$ dice que es continua y además, hay $K\in \mathbb{R}$ de manera que si $|\xi|> K$ tenemos

$$\mathfrak{F}(f)(\xi)\leq \dfrac{A}{|\xi|^{1+\alpha}}, \quad \text{for all $ |\K $ and for some $ A en \mathbb{R} $}.$$

Ahora, realmente no tengo idea de qué hacer aquí. El paso inicial obvio es escribir:

$$|f(x+h)-f(x)| = \left|\int_{-\infty}^{\infty} \mathfrak{F}(f)(\xi)e^{2\pi i (x+h)\xi}d\xi-\int_{-\infty}^{\infty}\mathfrak{F}(f)(\xi)e^{2\pi i x\xi}d\xi\right|$$

Así que tenemos

$$|f(x+h)-f(x)| \leq \int_{-\infty}^{\infty} |\mathfrak{F}(f)(\xi)| | e^{2\pi i h\xi}-1|d\xi.$$

Ahora una sugerencia es romper esta integral de la siguiente manera:

$$|f(x+h)-f(x)|\leq \int_{|\xi|\leq 1/|h|} |\mathfrak{F}(f)(\xi)||e^{2\pi ih\xi -1}|d\xi + \int_{|\xi|\geq 1/|h|} |\mathfrak{F}(f)(\xi)||e^{2\pi ih\xi -1}|d\xi. $$

Y ahora estoy completamente atascado. En primer lugar, realmente tengo ninguna idea o intuición sobre lo que hay que hacer .

Mi única suposición sería utilizar la continuidad en el compacto $[-1/|h|,1/|h|]$ a la que se le ha puesto un límite $\mathfrak{F}(f)$ allí, pero esto no produciría la deseada $|h|^\alpha$ . En la otra integral no puedo usar también la otra condición sobre $\mathfrak{F}(f)$ porque la integral es para $|\xi| \geq 1/|h|$ no $|\xi| > K$ .

En fin, estoy bastante perdido aquí. ¿Cómo puedo mostrar esto? Pero mucho más importante que cómo probar esto ¿Cómo puedo llegar a la prueba? ¿Cómo puedo tener la idea de lo que hay que hacer? ¿Cuál es la forma correcta de pensar en este problema para resolverlo?

Aquí me interesa mucho más cómo debo razonar sobre esto, y cómo puedo tener la idea de cómo demostrarlo.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que debido a la suposición sobre el decaimiento de $\mathcal{F}(f)$ en el infinito, existe una constante $c>0$ tal que

$$\mathcal{F}(f)(\xi) \leq \frac{c}{|\xi|^{1+\alpha}} \qquad \text{for all $ |\xi| |geq 1 $.} \tag{1}$$

(Para $|\xi| \gg 1$ , digamos que $|\xi| \geq K$ Esto es una consecuencia de la decadencia y para $|\xi| \in [1,K]$ podemos usar eso $|\xi|^{1+\alpha} \mathcal{F}(f)(\xi)$ es una función continua, por lo tanto acotada en los compactos). Además, basta con demostrar que

$$|f(x+h)-f(x)| \leq M |h|^{\alpha} \qquad \text{for all $ x \N en \Nmathbb{R} $, $ h \Nen (0,1) $} \tag{2}$$

(para $h \geq 1$ podemos simplemente elegir la constante $M$ suficientemente grande, por ejemplo $M> 2 \|f\|_{\infty}$ ).

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Como ya ha señalado, tenemos

$$|f(x+h)-f(x)| \leq I_1+I_2$$

donde

$$\begin{align*} I_1 &:= \int_{|\xi| \leq |h|^{-1}} |\mathcal{F}f(\xi)| \cdot |e^{2\pi i h \xi}-1| \, d\xi \\ I_2 &:= \int_{|\xi| > |h|^{-1}} |\mathcal{F}f(\xi)| \cdot |e^{2\pi i h \xi}-1| \, d\xi. \end{align*}$$

Estimamos ambos términos por separado. Vamos a demostrar que existen constantes $C_1,C_2>0$ tal que

$$I_1 \leq C_1 (h+h^{\alpha}) \qquad \text{and} \qquad I_2 \leq C_2 h^{\alpha} \tag{$ \N - La estrella $}$$

para todos $h \in (0,1)$ . En primer lugar, estimamos $I_2$ . Recordemos que

$$|e^{ix}-1| \leq 2 \min\{|x|,1\} = \begin{cases} 2|x|, & |x| \leq 1, \\ 2, & |x|>1 \end{cases} \tag{3}$$

Ahora bien, como $|2\pi h \xi|>1$ para cualquier $|\xi|>h^{-1}$ utilizamos la estimación $|e^{2\pi i \xi h}-1| \leq 2$ para $I_2$ . En consecuencia, obtenemos

$$I_2 \leq 2 \int_{|\xi|>h^{-1}} |\mathcal{F}f(\xi)| \, d\xi.$$

Para cualquier $h \in (0,1)$ ahora se deduce de $(1)$ que

$$I_2 \leq 2c \int_{|\xi|>h^{-1}} \frac{1}{|\xi|^{1+\alpha}} \, d\xi = \frac{2c}{\alpha} h^{\alpha}. \tag{4}$$

Queda por estimar $I_1$ . Escribimos $$I_1 = I_{11} + I_{12}$$ donde

$$\begin{align*} I_{11} &:= \int_{|\xi| \leq 1} |\mathcal{F}f(\xi)| \cdot |e^{2\pi i h \xi}-1| \, d\xi \\ I_{12} &:= \int_{1<|\xi| \leq |h|^{-1}} |\mathcal{F}f(\xi)| \cdot |e^{2\pi i h \xi}-1| \, d\xi. \end{align*}$$

Utilizando $(3)$ y la acotación de $\mathcal{F}f$ obtenemos

$$I_{11} \leq \|\mathcal{F}f\|_{\infty} \int_{|\xi| \leq 1} |2\pi \xi h| \,d\xi \leq 2\pi \|\mathcal{F}f\|_{\infty} |h|. \tag{5}$$

Por otro lado, $(1)$ y $(3)$ dar

$$\begin{align*} I_{12} \leq \int_{1 < |\xi| < h^{-1}} |\xi|^{-1-\alpha} |2\pi \xi h| \, d\xi &= 2 \pi h \int_{1<|\xi|<h^{-1}} |\xi|^{-\alpha} \, d\xi \\ &\leq 2\pi h \frac{h^{\alpha-1}}{1-\alpha}. \tag{6} \end{align*}$$

Combinando $(4)$ , $(5)$ y $(6)$ obtenemos $(\star)$ . En consecuencia, existe una constante $C=C(f)$ tal que

$$|f(x+h)-f(x)| \leq C (h+h^{\alpha})$$

para todos $x \in \mathbb{R}$ y $h \in (0,1)$ . Como $\alpha \in (0,1)$ y $h \in (0,1)$ esto implica

$$|f(x+h)-f(x)| \leq 2C h^{\alpha},\qquad x \in \mathbb{R}, h \in (0,1)$$

y esto muestra $(2)$ .

Observación: Has preguntado cómo llegar a la forma correcta de dividir las integrales. Debido a $(1)$ tiene sentido considerar los dominios de la integración

$$\{\xi; |\xi| \leq 1\} \qquad \text{and} \qquad \{\xi; |\xi|>1\}$$

por separado (para el conjunto de la derecha tenemos nuestra bonita decadencia $(1)$ para el conjunto del lado izquierdo podemos utilizar la acotación de $\mathcal{F}f$ y existe la posibilidad de que esto dé un buen límite superior porque este conjunto es compacto). Por otro lado, estimar $(3)$ sugiere considerar los ámbitos de integración

$$\{\xi; |\xi h| \leq 1\} \qquad \text{and} \qquad \{\xi; |\xi h| > 1\}$$

por separado (para el conjunto del lado izquierdo la estimación $|e^{i \xi h}-1| \leq |\xi h|$ es bueno (porque $|\xi h|$ es pequeño) mientras que $|e^{ih \xi-1}| \leq 2$ es una estimación útil si $|\xi h|$ es grande).