Isomorfismo entre subgrupos de $S_p$ y $GL_2(\mathbb{Z}/ p\mathbb{Z})$

Question

Considere el grupo $GL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ . ¿Puede ser isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico $S_n$ para algún primo $n\leq p$ . Aquí $p$ es primo.

Es suficiente si es posible demostrar que la existencia de un isomorfismo entre $GL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ y $S_p$ para algún primo $p$ .

Answer 1

$\mathrm{GL}_2(p)$ tiene un centro de orden $p-1$ (las matrices escalares), y un subgrupo de orden $p$ (las matrices unitriangulares superiores). Así, un elemento de orden $p$ en $\mathrm{GL}_2(p)$ conmuta con un elemento de orden $p-1>1$ (si $p\neq 2$ ). Pero en $S_p$ El $p$ -no conmuta con ningún elemento de orden estrictamente entre $1$ y $p$ . Así, $\mathrm{GL}_2(p)$ y de hecho $\mathrm{SL}_2(p)$ para $p>2$ no puede ser un subgrupo de $S_p$ (o $S_{p+1}$ ).

Necesitamos algo así porque el proyectiva grupo $\mathrm{PSL}_2(5)$ es isomorfo a $A_5$ por lo que es un subgrupo de $S_5$ y $\mathrm{PSL}_2(7)$ es un subgrupo de $S_7$ .

Answer 2

En primer lugar, está claro que no existe ningún isomorfismo entre $GL_2(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ y un subgrupo de $S_2$ porque $\text{ord}(S_2)=2<\text{ord}(GL_2(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}))$ .

Ahora toma $p>2$ sea un primo y defina $P,Q\in GL_2(\mathbb{Z}/ p\mathbb{Z})$ por $$P=\begin{pmatrix}p-1&0\\0&p-1\end{pmatrix}$$ y $$Q=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$ Inductivamente podemos demostrar que, para todo $n\in\mathbb{Z}$ , $$Q^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$$ Por lo tanto, $\text{ord}(Q)=p$ y $\text{ord}(P)=2$ . Está claro que $PQ=QP$ . Desde $P,Q$ conmuta, tenemos que $\text{ord}(PQ)=\text{lcm}(\text{ord}(P),\text{ord}(Q))=\text{lcm}(2,p)=2p$ . (Desde $p$ es primo y $p\neq 2$ . )

Ahora supongamos que existe un isomorfismo $\varphi:GL_2(\mathbb{Z}/ p\mathbb{Z})\to S_p$ . Entonces $\text{ord}(\varphi(AB))=2p$ . Pero, sólo los elementos en $S_p$ tienen órdenes divisibles por $p$ son $p$ ciclos que tiene el orden $p$ .

Por lo tanto, no existe ningún isomorfismo entre los subgrupos de $S_p$ y $GL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ .