Comportamiento de los bilineales de Dirac

Question

Las bilíneas de Dirac se transforman en los índices de Lorentz como

• $\bar{\psi}\psi$ escalar
• $\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$ vector
• $\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu}\psi$ Tensor de 2º rango (antisimétrico)
• $\bar{\psi}\gamma^{\mu}\gamma^5\psi$ vector axial
• $\bar{\psi}\gamma^5\psi$ pseudoescalera

El escalar como el más sencillo ejemplo,

$\bar{\psi}\psi$ es invariante bajo las transformaciones de Lorentz y, por tanto, es un escalar ( fuente )

Cuando se hace referencia a un escalar ¿significa eso que puedo aumentar arbitrariamente y tratar la cantidad como un escalar (es decir, mover libremente la cantidad dentro de los términos) o significa simplemente que la cantidad se transforma sin ningún cambio de rango pero no puede se mueven como un número.

Ejemplo con un escalar : ¿Está permitido lo siguiente?

$$ (u\bar{u})\not pu = \not pu(u\bar{u}) $$ para un espinor arbitrario $u$ y $\not p = \gamma^\mu p_\mu$ como siempre.

Answer 1

Un escalar es, como otros escalares, simplemente un número. Piensa en su representación matricial: $$ \psi=(\phi_R\; \phi_L)^T$$ y $$\bar{\psi}=\psi^\dagger\gamma^0 =(\phi^*_L \; \phi_R^*).$$ Está claro que $\bar{\psi}\psi$ es una matriz 1x1 (escalar), y por supuesto la operación es legítima.

Esas otras formas también son matrices de 1x1. Sin embargo, bajo la transformación de Lorentz, una expresión se transforma como un escalar, o como un vector, etc. Así que no tiene nada que ver el término "escalar" con una matriz de 1×1.