¿Puede explicar cómo debo evaluar este límite? $$\lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{2^n (n!)^2}$$
Sé que la solución es $\geq1$ pero no sé cómo puedo simplificar así, pero me quedé aquí $$\frac{2n(2n-1)(2n-2)...1}{2^n(n(n-1)(n-2)...1)}$$ No sé si debo simplificarlo así como dije la respuesta es $\geq1$ ¿pero mi libro de texto no explica por qué?
Es una prueba de razón y la respuesta de esta prueba de razón es 2 pero no entiendo que tiene que ver esto con el límite en el infinito ¿pueden explicarlo?
Tomando el logaritmo, el término de la secuencia se convierte en
$$\sum_{k=1}^{2n}\ln(k)-2\sum_{k=1}^n\ln(k)-n\ln(2)$$
$$=\sum_{k=n+1}^{2n}\ln(k)-\sum_{k=1}^n\ln(k)-n\ln(2)$$
$$=\sum_{k=1}^n\ln(\frac{k+n}{k})-n\ln(2)$$
$$n\Bigl(\frac 1n\sum_{k=1}^n\ln(1+\frac nk)-\ln(2)\Bigr)$$
La suma de Riemann va a $$\int_0^1(\ln(x+1)-\ln(x))dx=2\ln(2)+1$$
El límite será $+\infty$ .
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@Dunnò000 sí, lo he comprobado dos veces y es correcto, pero la respuesta es $\geq1$ es la formula stirling no la entiendo me la podeis explicar estoy estudiando calculo 2 ahora mismo
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Bien $\infty$ es $\ge 1$ . Usando Stirling puedes deducir lo rápido que va hasta el infinito. Debería ir como $\frac{2^n}{\sqrt{\pi n}}$ lo que significa que si multiplicas tu secuencia por $\frac{\sqrt{\pi n}}{2^n}$ se obtiene algo con límite $1$ para $n\to \infty$ .
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La integración por partes da $$a_n=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\left(\sin\theta\right)^{2n}\,d\theta $$ de ahí $\lim_{n\to +\infty}\frac{(2n)!}{{\color{red}4^n}n!^2}$ es cero por el teorema de convergencia monótona/dominante. A partir de esta identidad no es difícil obtener que el LHS se comporta como $\frac{1}{\sqrt{\pi\left(n+\tfrac{1}{4}\right)}}$ como $n\to +\infty$ . Del teorema del binomio ampliado también tenemos $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}x^n = \frac{1}{\sqrt{1-x}} $$ para cualquier $x\in[-1,1)$ tal que $$ \sum_{n=0}^{N} a_n a_{N-n} = 1. $$