Demostrar que $m^{2} + n^{2} = \csc^{2}\left(\theta\right)$

Question

$$ \mbox{If}\quad\left\lbrace% \begin{array}{rcl} m^{2} + m'^{2} + 2mm'\cos\left(\theta\right) & = & 1 \\ n^{2} + n'^{2} + 2nn'\cos\left(\theta\right) & = & 1 \\ mn + m'n' + (mn' + m'n)\cos\left(\theta\right) & = & 0 \end{array}\right\rbrace \quad\mbox{then prove that}\ m^{2} + n^{2} = \csc^{2}\left(\theta\right) $$ No sé cómo hacer esto. Por favor, ayuda.

Answer 1

He aquí una prueba geométrica:

Dejemos que $\alpha=\pi-\theta$ . Entonces $$ 1 = m^2 + m'^2 - 2mm'\cos\alpha \tag{1} $$ es la regla del coseno en un triángulo con lados $m$ , $m'$ y $1$ y $$ 1 = n^2 + n'^2 - 2nn'\cos\alpha \tag{2} $$ es la regla del coseno en un triángulo con lados $n$ , $n'$ y $1$ . La tercera ecuación es $$ 0 = 2mn + 2m'n' - 2(mn' + m'n)\cos\alpha. $$ Si sumamos estas tres ecuaciones una al lado de la otra, obtenemos $$ 2 = m^2 + n^2 + 2mn + m'^2 + n'^2 + 2m'n' - 2(mm' + nn' + mn' + m'n)\cos\alpha $$ o $$ 2= (m+n)^2 + (m'+n')^2 - 2(m+n)(m'+n')\cos\alpha, \tag{3} $$ que es la regla del coseno en un triángulo con lados $m+n$ , $m'+n'$ y $\sqrt{2}$ . Podemos combinar los tres triángulos en una sola figura:

Ahora vemos que los tres triángulos rosas son iguales: son triángulos rectángulos con hipotenusa $1$ y los lados $$x=m\sin\alpha=m\sin\theta$$ y $$y=n\sin\alpha=n\sin\theta,$$ para que $$ m^2\sin^2\theta + n^2\sin^2\theta = 1, $$ o $$ m^2 + n^2 = \csc^2\theta. $$

Answer 2

Por comodidad, dejemos que $a=m$ , $b=m^{\prime}$ , $x=n$ , $y=n^{\prime}$ Así que

$a^2+b^2+2ab\cos\theta=1$ , $\;\;x^2+y^2+2xy\cos\theta=1$ , $\;\;ax+by+(ay+bx)\cos\theta=0$ .

De la tercera ecuación, $(a+b\cos\theta)x+(b+a\cos\theta)y=0$ Así que $ y=-\frac{a+b\cos\theta}{b+a\cos\theta}x$ .

Sustituyendo en la 2ª ecuación se obtiene $x^2+\left(\frac{a+b\cos\theta}{b+a\cos\theta}\right)^2x^2-\frac{2(a+b\cos\theta)\cos\theta}{b+a\cos\theta}x^2=1$ Así que

$\frac{(b+a\cos\theta)^2+(a+b\cos\theta)^2-2(b+a\cos\theta)(a+b\cos\theta)\cos\theta}{(b+a\cos\theta)^2} x^2=1$ .

Entonces $x^2=\frac{(b+a\cos\theta)^2}{b^2+2ab\cos\theta+a^2\cos^{2}\theta+a^2+2ab\cos\theta+b^2\cos^{2}\theta-2ab\cos\theta-2a^2\cos^{2}\theta-2b^2\cos^{2}\theta-2ab\cos^{3}\theta}$ Así que

$x^2=\frac{(b+a\cos\theta)^2}{a^2+b^2-a^2\cos^{2}\theta-b^2\cos^{2}\theta+2ab\cos\theta(1-\cos^{2}\theta)}=\frac{(b+a\cos\theta)^2}{(a^2+b^2+2ab\cos\theta)\sin^{2}\theta}=\frac{(b+a\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}$ utilizando la ecuación 1.

Entonces $a^2+x^2=a^2+\frac{(b+a\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}=\frac{a^2\sin^2\theta+b^2+2ab\cos\theta+a^2\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\frac{a^2+b^2+2ab\cos\theta}{\sin^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta}=\csc^2\theta$ , (utilizando de nuevo la ecuación 1).

Answer 3

Utilizando el mismo conjunto de anotaciones utilizadas por user84413,

$\displaystyle ax+by+(ay+bx)\cos\theta=0\ \ \ \ (1)$

$\displaystyle a^2+b^2+2ab\cos\theta=1\iff (b+a\cos\theta)^2=1-a^2\sin^2\theta\ \ \ \ \ (2)$

De la misma manera, $\displaystyle x^2+y^2+2xy\cos\theta=1\iff(y+x\cos\theta)^2=1-x^2\sin^2\theta\ \ \ \ \ (3)$

Multiplicando $(2),(3)$

$\displaystyle(1-a^2\sin^2\theta)(1-x^2\sin^2\theta)=\{(b+a\cos\theta)(y+x\cos\theta)\}^2$

$\displaystyle\implies 1-(a^2+x^2)\sin^2\theta+a^2x^2\sin^4\theta=\{by+\cos\theta(ay+bx)+ax\cos^2\theta\}^2$

Ahora poniendo el valor de $by+(ay+bx)\cos\theta$ de $(1),$

$\displaystyle\{by+\cos\theta(ay+bx)+ax\cos^2\theta\}^2=\{(-ax)+ax\cos^2\theta\}^2=a^2x^2(-\sin^2\theta)^2=a^2x^2\sin^4\theta$

$\displaystyle\implies 1-(a^2+x^2)\sin^2\theta+a^2x^2\sin^4\theta=a^2x^2\sin^4\theta$

Ahora simplifica.