Dejemos que $F$ sea un campo local (cuyo campo residuo es $q$ ) y $E$ su extensión cuadrática. Sea $\pi$ sea una representación en serie principal irreducible $\pi(\chi_1, \chi_2)$ de $GL_F(2)$ especialmente cuando $\chi_1, \chi_2$ son caracteres unitarios. Entonces sé $L_F(s,\pi)=\frac{1}{1-\chi_1(\varpi)q^s} \cdot \frac{1}{1-\chi_2(\varpi)q^s}$ . Entonces, ¿qué es $L_E(s,BC(\pi))$ en términos de $\chi_1, \chi_2$ ?
Respuesta
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Si $\pi = \pi(\chi_1, \chi_2)$ es una serie principal irreducible, entonces $BC(\pi)$ es la serie principal irreducible unida a los caracteres no ramificados $\chi_i \circ N_{E/F}$ de $E^\times$ . Así que si el $\chi_i$ no están ramificados, entonces tenemos
$$L_E(s, BC(\pi)) = (1 - \chi_1(\varpi)^2 q^{-2s})^{-1}(1 - \chi_2(\varpi)^2 q^{-2s})^{-1}.$$
(El punto del cambio de base es que corresponde a la restricción de las representaciones de Weil-Deligne de $W_F$ a $W_E$ bajo la correspondencia local de Langlands, y esta relación es completamente obvia en el lado de Galois, ya que el Frobenius de $E$ es el cuadrado del Frobenius de $F$ .)
