Centro de grupos triviales

Question

A menudo les digo a mis alumnos de Álgebra Abstracta que el centro de un grupo $$\{e_G\} \subseteq Z(G) := \{ g \in G \mid ag = ga,~\forall a \in G \}\subseteq G$$ puede considerarse como una medida de lo mucho (o poco) que el grupo $G$ es conmutativo - por ejemplo, $G$ es conmutativo si y sólo si $G = Z(G)$ .

En el otro extremo del espectro, $G$ puede verse como muy no conmutativo si $Z(G) = \{e_G\}$ .

Pregunta: ¿Existe un grupo no conmutativo (conocido) cuyo centro sea trivial?

AÑADIDO: Esta es una pregunta más precisa: ¿Hay algún ejemplo básico que pueda compartir con mis alumnos (que sólo conocen la definición de grupo)?

Answer 1

Para cualquier $n \ge 3$ el grupo simétrico $S_n$ es un ejemplo de grupo sin centro. Por supuesto, cualquier grupo abeliano sin centro debe ser trivial, porque un grupo abeliano es su propio centro.