Función analítica para la que $\overline{f(z)} \neq f(\overline{z})$ ?

Question

Desde $\overline{f(z)} = f(\overline{z})$ , donde $\overline{z}$ denota el complejo conjugado de $z$ ya funciona para polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$ la función exponencial, etc., para lo cual analítica funciones que mapean $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ ¿no funciona?

¿Puede darme un (contra)ejemplo? Gracias.

PD: la conjugación es un automorfismo de campo en $\mathbb{C}$ que fija $\mathbb{R}$ Así que si algo va mal tiene que tener que ver con el infinito resumen.

Answer 1

Esto es cierto para las funciones analíticas que tienen una serie de Taylor real (Ver Principio de reflexión de Schwarz ): una función definida en un trozo del semiplano superior cerrado con valores reales para reales $z$ (y por lo tanto los coeficientes reales de Taylor) se extiende a una función analítica en el correspondiente trozo reflejado del semiplano inferior definiendo $f(\bar{z}) = \overline{f(z)}$ . Como la continuación analítica es única, esto es siempre cierto para las funciones definidas en ambos dominios en primer lugar.