Álgebras de Lie excepcionales E8

Question

Tengo algunas preguntas sobre las álgebras de Lie excepcionales, en particular sobre el álgebra de Lie E8

1) Diferencia con las demás álgebras de Lie, especialmente con las clásicas $A_{l}$ , $B_{l}$ , $C_{l}$ y $D_{l}$ ?

2) ¿Existen otras álgebras de Lie, por ejemplo las álgebras de Lie E9, E10, etc.?

3) Toda la teoría relacionada con las álgebras de Lie, ¿se aplica también a las álgebras de Lie excepcionales o dónde falla?

4) Salen preguntas abiertas sobre el álgebra de Lie E8, ¿puede esa investigación?

5) Por último, ¿cuáles son las posibles aplicaciones del álgebra de Lie E8?

Muchas gracias por su ayuda

Answer 1

1) Un álgebra de Lie simple de tipo $E_8$ es diferente de las álgebras de Lie simples de tipo clásico, porque no encaja en ninguna de estas series. Esa es la razón del nombre de álgebra de Lie "excepcional". Por lo demás, una álgebra de Lie simple de tipo $E_8$ es diferente de todas las álgebras de Lie, que no son simples.

2) La clasificación de los sistemas de raíces muestra que no hay álgebras de Lie simples de dimensión finita de tipo $E_n$ para $n>8$ . Sin embargo, si se permiten infinitas dimensiones, se puede decir más - ver esta pregunta .

3) Toda la teoría que se puede aplicar a las álgebras de Lie, por supuesto también se aplica a un álgebra de Lie de tipo $E_8$ . Sin embargo, no todas las propiedades de las álgebras de Lie clásicas son compartidas por las excepcionales.

4) Sí, hay varias cuestiones abiertas sobre las álgebras de Lie de tipo $E_8$ en la investigación. Seguramente encontrará muchos trabajos durante una búsqueda. Puedo anunciar nuestro trabajo en Representaciones de Etale para grupos algebraicos reductores con factores $Sp_n$ o $SO_n$ donde nos preguntamos qué álgebras de Lie $\mathbb{C}\oplus \mathfrak{s}_1\oplus \cdots \oplus \mathfrak{s}_n$ admiten una estructura de álgebra pre-Lie (directamente relacionada con la representación etale), por ejemplo, puede uno de los factores simples ser del tipo $E_8$ ? Para más detalles, consulte la sección $5$ en este documento.

5) Véase la sección $9$ aquí .

Answer 2

La respuesta de Dietrich Burde es excelente, así que sólo añado algunos comentarios sobre $E_8$ y la conexión con la geometría algebraica.

Existe una relación fascinante con los subgrupos finitos de $\rm{SU}_2$ , singularidades de Du Val y álgebra de Lie simple. Más precisamente, todos estos objetos hasta los isomorfismos están clasificados por el diagrama de Dynkin. En este entorno, el grupo correspondiente a $E_8$ es el grupo icosaédrico binario $\rm{BI}$ , de orden $120$ que puede descifrarse de la siguiente manera: hay una doble cobertura $\rm{SU}_2 \to \rm{PSU}_2 \cong \rm{SO}_3$ (correspondiente a la doble tapa $S^3 \to \Bbb RP^3$ ). Existe un subgrupo $G \subset \rm{SO}_3$ con $G \cong \mathfrak A_5$ correspondiente al grupo de isometría de un icosaedro. Entonces, tomamos ${\rm{BI}} = \pi^{-1}(G)$ . La singularidad correspondiente viene dada por $x^2 + y^3 + z^5 = 0$ . Esto ya lo sabía Klein.

Por último, hay una misteriosa conexión entre las álgebras de Lie de tipo $E$ y la geometría algebraica : dejemos $X$ sea una superficie cúbica lisa en $\Bbb P^3$ entonces es bien sabido que hay $27$ líneas en $X$ . La representación más pequeña de $E_6$ es de dimensión $27$ correspondiente a las líneas de una superficie cúbica.

Pero eso no es todo. Podemos proyectar nuestra superficie cúbica $X$ a un plano, esto realizará $X$ como una cubierta ramificada de $\Bbb P^2$ sobre un cuartico $Q$ . Cada línea $L \subset X$ se enviará a una línea bitangente a $Q$ . Además, como la proyección no está definida en todas partes, tenemos que realizar una ampliación para que este mapa esté bien definido, lo que da una $28$ -a la bitangente. La representación fundamental de $E_7$ tiene dimensión $56 = 2 \cdot 28$ . No conozco la relación, pero al menos parece plausible.

Pero según esta filosofía, $E_8$ deben estar relacionados con los planos tritangentes de un sextil $C \subset \Bbb P^3$ que es la intersección de una superficie cuádrica y una cúbica. No tengo idea de cómo se relacionan estos dos.