$T$ preserva el producto interior si $\|T\alpha \|=\|\alpha\|$

Question

Necesito ayuda para demostrar lo siguiente :

Dejemos que $V$ y $W$ sea producto interior espacios sobre el mismo campo y $$T : V \rightarrow W$$ lineal. Entonces $T$ conserva producto interior si $$\|T\alpha \| = \|\alpha \|$$

Si $T$ conserva producto interior entonces $T$ preserva la norma .

Por el contrario, $\|T\alpha\|=\|\alpha \|$ implica ${\|T\alpha\|}^2 = {\|\alpha\|}^2$ Tenemos que mostrar , $$\langle T\alpha , T\beta \rangle = \langle \alpha , \beta \rangle $$ para cualquier $\alpha , \beta \in V.$

La sugerencia es utilizar la identidad de polarización $${\langle \alpha \mid \beta \rangle }={1\over 4} \|\alpha + \beta \|^2 - {1\over 4} \|\alpha - \beta \|^2$$ pero no puedo averiguar cómo usar esto.

Answer 1

Utilizando la linealidad de $T$ , usted tiene

$$ \left< T\alpha|T\beta \right>_W = \frac{1}{4} \left( ||T\alpha + T\beta||_W^2 - ||T\alpha - T\beta||_W^2 \right) = \frac{1}{4} \left( ||T(\alpha + \beta)||_W^2 - ||T(\alpha - \beta)||_W^2 \right) = \frac{1}{4} \left( ||\alpha + \beta||_V^2 - ||\alpha - \beta||_V^2 \right) = \left< \alpha | \beta \right>_V.$$