¿Demostrar que ϱ es una métrica?

Question

Tengo un examen de Análisis pronto, y encontré este problema de práctica un poco desafiante. Se agradece cualquier ayuda al respecto.

Un espacio métrico $M$ con la métrica $d$ siempre se puede re-metrizar para que el espacio métrico sea acotado. Basta con definir la métrica acotada: $$ \varrho(p,q) = \frac{d(p,q)}{1+d(p,q)} $$ Demostrar que $\varrho$ es una métrica. ¿Por qué está obviamente acotada?

Answer 1

Para cualquier $x\geq0$ tenemos $$\frac{x}{1+x}<1.$$