Resulta que hace poco me interesé por ese mismo problema, lo nombré de la misma manera (por eso encontré este post anterior) y me encontré con las mismas dificultades.
Si primero escribió un programa de ordenador (en Python) para calcular la 'cobertura' para los primeros i primos, en un conjunto de N números, a través de la "fuerza bruta". Esencialmente, consiste en recorrer todos los números enteros de 0 a N y contar los que son divisibles por uno de esos primos (llamemos a ese número n). Sea c(i,N) la cobertura de los primeros i primos sobre los enteros de 0 a N:
$$ c(i,N) = \frac{n}{N} $$
Luego cambié los números i y n, para tener una idea de cómo funcionaría esta cobertura.
El segundo paso fue tratar de encontrar una ecuación para calcular esa cobertura sobre $\mathbb{N}$ . Como mencionó Shane M., la primera fórmula que se me ocurre:
$$ c(i) = \sum_1^N{\frac{1}{p(i)}}$$ no funciona. El problema es que esta serie diverge cuando $N\rightarrow\infty$ . Eso no puede ser correcto, ya que (considero) la cobertura de $\mathbb{N}$ por un número infinito de primos debe ser 1: $$\lim_{N\to \infty}{c(i,N)=c(i)}=1$$
Me pareció que la sugerencia de Sandeep Silwal de utilizar el principio de inclusión/exclusión no sólo era familiar, sino que daba en el clavo: $$\left |A \cap B \right| = |A| + |B| - |A \cap B| $$
Cada vez que introducimos un nuevo primo y sus múltiplos, tenemos que tener en cuenta todos sus múltiplos que ya estaban cubiertos (esa es la parte de la intersección), de lo contrario los contamos dos veces.
En concreto, ya sabemos que: $$c(1) = \frac{1}{2} = 0.5$$
La razón por la que la cobertura de los dos primeros primos no es $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ es que, por supuesto, hay muchos múltiplos de 3 que ya eran múltiplos de 2 (6, 12, 18, etc.). Sucede que esto es 1 de 2: $$c(2) = \frac{1}{2}+\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=0.\bar6$$ Esto también podemos escribirlo como: $$c(2) = c(1)+\frac{1}{3} - c(1)\frac{1}{3}$$
Siguiendo con el tercer primo (5), hay una propiedad interesante (y sencilla): en el conjunto de múltiplos de 5 ({0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40...}), $\frac{2}{3}$ son divisibles por 2 ó 3; la cobertura es, pues, c(2).
La mejor explicación que he encontrado es la siguiente: el conjunto anterior puede escribirse como $\{1\times5, 2\times5, 3\times5, 4\times5, 5\times5,...\}$ . Como 5 es un nuevo primo, cada elemento de este conjunto es divisible por el 2 o el 3 sólo si el primer elemento de la multiplicación es divisible. En otras palabras, este conjunto puede ser mapeado en $\{1, 2, 3, 4, 5,..\}$ y sabemos que c(2) es la cobertura de ese conjunto (2 se refiere al segundo primo, es decir, 3). $$c(3) = c(2) +\frac{1}{5} - c(2)\frac{1}{5}$$
Esto se generaliza en la siguiente fórmula para la cobertura de $\mathbb{N}$ por los primeros i números primos. $$\bbox[yellow,5px]{ \begin{cases} c(i+1) = c(i)+\frac{1}{p(i+1)} - c(i)\frac{1}{p(i+1)}\\ c(0) = 0 \end{cases} }$$
La "demostración" sobre la intersección se generaliza de esta manera: Llamemos P(i) al conjunto de números abarcados por los primeros i primos y M(i) al conjunto de números abarcados por p(i), el enésimo primo.
$$M(i+1)=\{0\times{(i+1)}, 1\times{(i+1)}, 2\times({i+1)}, 3\times({i+1}), 4\times({i+1}), 5\times({i+1}),...\}$$
Desde $p(i+1)\notin{P(i)}$ cada uno de los elementos de este conjunto es divisible sólo si el primero de sus to factores está en P(i). Por lo tanto, podemos mapear este conjunto en $\{0, 1, 2, 3, 4...\}$ que es $\mathbb{N}$ y sabemos que su cobertura con los primeros i números primos es c(i). QED.
Me doy cuenta de que es una redacción imperfecta (demasiado larga por un lado y con algunos atajos por otro), pero creo que lo esencial está aquí. He comparado los resultados de esta fórmula con el cálculo de "fuerza bruta" y se confirma (aquí están los 10 primeros primos):
+----+------+-----------------+--------------+------------+
| i | p(i) | c(i) | c(i) decimal | c(i, 1000) |
+====+======+=================+==============+============+
| 1 | 2 | 1/2 | 0.500000 | 0.499990 |
+----+------+-----------------+--------------+------------+
| 2 | 3 | 2/3 | 0.666667 | 0.666660 |
+----+------+-----------------+--------------+------------+
| 3 | 5 | 11/15 | 0.733333 | 0.733330 |
+----+------+-----------------+--------------+------------+
| 4 | 7 | 27/35 | 0.771429 | 0.771420 |
+----+------+-----------------+--------------+------------+
| 5 | 11 | 61/77 | 0.792208 | 0.792200 |
+----+------+-----------------+--------------+------------+
| 6 | 13 | 809/1001 | 0.808192 | 0.808180 |
+----+------+-----------------+--------------+------------+
| 7 | 17 | 13945/17017 | 0.819475 | 0.819460 |
+----+------+-----------------+--------------+------------+
| 8 | 19 | 268027/323323 | 0.828976 | 0.828960 |
+----+------+-----------------+--------------+------------+
| 9 | 23 | 565447/676039 | 0.836412 | 0.836380 |
+----+------+-----------------+--------------+------------+
| 10 | 29 | 2358365/2800733 | 0.842053 | 0.841940 |
+----+------+-----------------+--------------+------------+
