Considere la medida del producto en $[0,1]\times[0,1]$ obtenida de la medida de Lebesgue en una dimensión. Demuestre que el disco con centro $(1/2,1/2)$ inscrito en el cuadrado unitario es medible. ¿Cuál es la medida del disco?
Cualquier ayuda sobre cómo empezar esto sería muy apreciada. Gracias.
Consideremos la función continua (y por tanto medible) $$ f(x,y) = \sqrt{(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2} $$ Entonces el conjunto en cuestión es $$ D = \{(x,y) : f(x,y) < 1/2\} = f^{-1}([0,1/2)) $$ Desde $[0,1/2)$ es un conjunto medible, también lo es $D$ .
Su medida es su área : Puedes demostrarlo aproximando desde el interior por regulares $n$ -y tomando su límite (utilizando el hecho de que la medida de Lebesgue es continua respecto a la toma de uniones)
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