Medida del disco dada la medida del producto y la medida de Lebesgue

Question

Considere la medida del producto en $[0,1]\times[0,1]$ obtenida de la medida de Lebesgue en una dimensión. Demuestre que el disco con centro $(1/2,1/2)$ inscrito en el cuadrado unitario es medible. ¿Cuál es la medida del disco?

Cualquier ayuda sobre cómo empezar esto sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Consideremos la función continua (y por tanto medible) $$f(x,y) = \sqrt{(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2}$$ Entonces el conjunto en cuestión es $$D = \{(x,y) : f(x,y) < 1/2\} = f^{-1}([0,1/2))$$ Desde $[0,1/2)$ es un conjunto medible, también lo es $D$ .

Su medida es su área : Puedes demostrarlo aproximando desde el interior por regulares $n$ -y tomando su límite (utilizando el hecho de que la medida de Lebesgue es continua respecto a la toma de uniones)