Suma simplificación $\sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{k}^2$

Question

$\sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{k}^2$ Por lo que estoy tratando de simplificar este uno y estoy atrapado en ninguna parte. Se agradecería algún tipo de punta. ¡ Gracias! :)

Answer 1

Intente esto: $$\sum_{k = 0}^n \binom{2n}{k}^2 = \sum_{k = 0}^n \binom{2n}{k} \binom{2n}{2n - k} = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{2n} \binom{2n}{k} \binom{2n}{2n - k} + \frac{1}{2}\binom{2n}{n}^2.$ $ luego la suma se transforma en el coeficiente descrito por anon en la respuesta a continuación: el término de $x^{2n}$ en el producto $$(1 + x)^{2n} (1 + x)^{2n} = (1 + x)^{4n}$ $ $\binom{4n}{2n}$. Así que la respuesta es %#% $ #%

Answer 2

Basta para encontrar la suma indexada de $k=0$ $k=2n$. Este será el coeficiente constante de $(1+x)^{2n}(1+x^{-1})^{2n}=(1+x)^{4n}x^{-2n}$, o el coeficiente de $x^{2n}$ $(1+x)^{4n}$.

Answer 3

Cuenta la cardinalidad de $\mathcal A=\left\{(A,B):A\subseteq\left\{1,2,\ldots,2n\right\},B\subseteq\left\{2n+1,2n+2,\ldots,4n\right\},|A|=|B|\right\}$ de dos maneras.

Forma 1: para cada $k \in \left\{0,1,\ldots 2n\right\}$ elegir elementos de $k$ $A$ elementos de y $k$ $B$. $$\displaystyle|\mathcal A|=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}{2n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}{2n\choose k}-{2n\choose n}^2$$

Modo 2: para cualquier $S\subseteq\left\{1,2,\ldots,4n\right\}$ $|S|=2n$ tomar $A=S\cap\left\{1,2,\ldots,2n\right\}$ y $B=S^c\cap\left\{2n+1,2n+2,\ldots,4n\right\}$ donde $S^c=\left\{1,2,\ldots,4n\right\}\setminus S$. Por lo tanto $$\left|\mathcal A\right| = \left|\left\{S\subseteq\left\{1,2,\ldots,4n\right\}:|S|=2n\right\}\right|={4n\choose 2n}$ $

Answer 4

Su suma $S=\sum_{i=0}^n\binom{2n}i^2$ sería más fácil hacerlo si suman a $i=2n$. Escribir tan $$ S'= \sum_ {i = 0} ^ {2n} \binom {2n} me ^ 2 = \sum_ {me = 0} ^ n\binom {2n} me ^ 2 + \sum_ {me = n + 1} ^ {2n} \binom {2n} {2n-i} ^ n 2 = 2S-\binom {2n} ^ 2. $$ Ahora $ S'= \sum_ {i = 0} ^ {2n} \binom {2n} i\binom {2n} {2n-i} = \binom {4n} {2n} $$ por la identidad de Vandermonde y se sigue que S=\frac12\left(\binom{4n}{2n}+\binom{2n}n^2\right) $$. $$

Answer 5

Usando las identidades $$ \sum_{k=0}^p\binom{n}{k}\binom{m}{p-k}=\binom{n+m}{p} $ y $$ \binom{n}{n-k}=\binom{n}{k} $ y asignación $n,m,p\mapsto2n$, obtenemos $$\begin{align} \binom{4n}{2n} &=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}^2\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{2n}{k}^2+\sum_{k=n+1}^{2n}\binom{2n}{k}^2\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{2n}{k}^2+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n}{2n-k}^2\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{2n}{k}^2+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n}{k}^2\\ &=2\sum_{k=0}^n\binom{2n}{k}^2-\binom{2n}{n}^2\\ \sum_{k=0}^n\binom{2n}{k}^2&=\frac12\binom{4n}{2n}+\frac12\binom{2n}{n}^2 \end {Alinee el} $$