Transformación lineal Pregunta de rotación en álgebra lineal

Question

Dado el vector $x=[1, 3, -7]^T$ en la base $[1, 0, 0]^T$ , $[0, 1, 0]^T$ y $[0, 0, 1]^T$ (coordenadas cartesianas) realizan las siguientes operaciones:

Girar 45 grados sobre el eje x luego girar 30 grados sobre el eje Y luego girar -10 grados sobre el eje z

No tengo ni idea de cómo empezar este problema. No puedo encontrar ningún ejemplo. Voy a seguir buscando en este sitio web para los ejemplos también.

Sí sé que la matriz de rotación es:

$$ Q= \left[ \begin{array}{cc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array} \right] $$

La pregunta continúa pidiendo reflexiones y proyecciones sobre varios ejes.

Cualquier ayuda será muy apreciada. ¡¡Todos los magos de las matemáticas me han dado una gran ayuda!! ¡¡Gracias!!

Answer 1

La matriz que necesitas será $3 \times 3$ y se forma tomando la matriz que escribiste y ajustándola un poco. Básicamente, quieres fijar el eje de la rotación y torcer las otras dos direcciones. Para fijar el $z$ -Uso de la dirección: $$ R = \left[ \begin{array}{ccc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$ Para arreglar el $y$ -dirección (que significa $x$ y $z$ direcciones se giran) utilizar: $$ R = \left[ \begin{array}{ccc} \cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{array} \right] $$ y, por último, para girar alrededor del $x$ -eje: $$ R = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array} \right] $$ tal vez deberías probar algunos ejemplos sencillos con mis sugerencias para ver cómo funcionan. Elige un ángulo fácil y un vector sencillo y prueba las transformaciones.