Límite de la distribución de Poisson

Question

¿Cuál es el límite como $\lambda \to \infty$ De

$$\large{e^{-it\sqrt{\lambda}}e^{\lambda(e^{it/\sqrt{\lambda}}-1)}}$$

Answer 1

Reescribe esto como $$ \begin{eqnarray} \lim_{\lambda \to \infty} \exp\left(\lambda \left( \mathrm{e}^{i t/\sqrt{\lambda}} - 1 - i t/\sqrt{\lambda} \right) \right) &=& \lim_{\lambda \to \infty}\exp\left(-t^2 \cdot \frac{ \mathrm{e}^{i t/\sqrt{\lambda}} - 1 - i t/\sqrt{\lambda} }{-t^2/\lambda} \right) \\ & \stackrel{u = t/\sqrt{\lambda}}{=}& \lim_{u \to 0} \exp\left(-t^2 \frac{\exp(i u) - 1 - i u}{(i u)^2} \right) \\ &=& \exp\left(-t^2 \lim_{u \to 0} \frac{\exp(i u) - 1 - i u}{(i u)^2} \right) \end{eqnarray} $$ Ahora usa La regla de L'Hospital para terminar esto asegurándose de justificar los pasos anteriores.