Skyrmions - Resolución de una EDO no lineal de segundo orden con una singularidad en x=0

Question

Estoy haciendo una investigación sobre nanoestructuras electromagnéticas (sobre skyrmions) y tengo que resolver esta ecuación diferencial (los valores exactos de las constantes no importan, sólo quiero todo las posibles soluciones de y(x) dados algunos valores a estas constantes).

$$ \frac{d^2 y}{dx^2}=-\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{\sin(2y)}{2} (\frac{1}{x^2}+\frac{K}{A})-\frac{D}{A}\frac{\sin(y)}{x}+\frac{\mu HM}{2A}\sin(y) $$

desde x=0 hasta x=R, con las condiciones de contorno

$$ y(0)=0,\ \frac{dy}{dx}(R)=\frac{-D}{2A} $$

Creo que no se puede encontrar una solución analítica a esta ecuación, por lo que he intentado utilizar métodos numéricos como el método de disparo (dadas las condiciones de contorno, me ha parecido adecuado).

El caso es que la singularidad en x=0 no me deja encontrar las soluciones. Obtengo resultados diferentes según el número de pasos que doy en el método.

También publiqué esto en Ciencia computacional y Matemáticas StackExchange, pero por ahora no he podido arreglarlo.

Answer 1

Yo también tuve muchos problemas con ecuaciones así. Mathematica puede resolver esto numéricamente, pero es bastante feo y me encontré con el mismo problema. Normalmente no hay solución analítica en las ecuaciones de Skyrme.

Tenía el límite cond. $y(0)=\pi, y(\infty)=0$ y he utilizado un método de relajación (en C...debería ser también en Mathematica) basado en la transformación $x\to\tan(z)$ entonces $y(x)\to f(z)$ , $y'(x)\to\cos^2(z)f'(z)$ y así sucesivamente. En tu caso, no entiendo muy bien por qué tienes $y'(R)$ dado. Tal vez deberías probar el método de relajación, también es más rápido pero necesita más entradas. O intenta estimar tu cond. inicial mediante una expansión de Taylor en y(0).