Para el campo T dado y $g \in T[x]$ - de grado positivo, demuestre que todo anillo cociente no nulo y no invertible $T[x]/(g)$ elemento es efectivamente divisor de cero.
Esta tarea nos fue explicada durante nuestra clase de zoom, sin embargo no la he entendido realmente, pero parece ser fundamental, por lo que necesito realizar su solución completamente. ¿Se te ocurre la solución más sencilla que sea realmente fácil de entender? Os agradecería cualquier ayuda.
No estoy seguro de cuál es la solución más fácil, pero aquí hay una que me gusta.
Desde $g$ es de grado positivo, $R=T[x]/(g)$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $T$ . Sea $a_0\in R$ sea un elemento que no sea divisor de cero. Entonces el mapa $R\to R$ dado por la fórmula $a\mapsto a_0a$ es inyectiva y $T$ -lineal, y por lo tanto es sobreyectiva (ya que $R$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $T$ ). En particular, hay algunos $a$ tal que $a_0a=1$ .
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