Límite de secuencia y monotonía de $a_{n+1}=\sqrt{4a_n+3},a_1=5$

Question

Tengo dificultades para demostrar si la secuencia es creciente o decreciente y encontrar su límite. Usando la derivada encuentro que es creciente, pero parece que hay otra manera. Calculando $a_{n+1}-a_n$ se me hace un lío. $$a_{n+1}=\sqrt{4a_n+3},a_1=5$$

Answer 1

No es necesario demostrar que la serie es monótona.

Si se supone que la serie converge, se puede utilizar un truco bastante común para encontrar el límite. Digamos que el límite existe y es igual a $L$

$$\lim_{n\to\infty} a_n=L$$

Intuitivamente se sabe que el límite para $a_n$ y para $a_{n+1}$ debería ser el mismo, por lo que se puede escribir algo como

$$\lim_{n\to\infty} a_n=L=\lim_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim_{n\to\infty} \sqrt{4a_n+3}$$

Ahora, como el límite para $a_n$ existe se puede utilizar alguna propiedad de límites de funciones para llegar a

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt{4a_n+3}= \sqrt{4\lim_{n\to\infty}a_n+3}=\sqrt{4L+3}$$

Así que terminas con

$$L=\sqrt{4L+2}$$

Esto le da dos soluciones para $L$ , $2+\sqrt{7}$ y $2-\sqrt{7}$ . Ahora, como sabes que la serie es toda positiva (porque las raíces cuadradas son siempre números positivos) entonces puedes descartar la solución negativa y obtener

$$L=2+\sqrt{7}$$

Answer 2

Podemos demostrar por inducción que la secuencia $\{a_n \}$ está disminuyendo.

Para $n=1$ tenemos $$a_2=\sqrt{4a_1+3}=\sqrt{4(5)+3}=\sqrt{23}<\sqrt{25}=5=a_1,$$ o $a_1>a_2.$

Para $n=k$ , supongamos que el enunciado $$a_k>a_{k+1} \tag{$ \N - La estrella $}$$ es cierto. Ahora, multiplicando ambos lados por $4$ , añadiendo a continuación $3$ a ambos lados, y luego aplicar la raíz cuadrada a ambos lados de $(\star)$ da $$\sqrt{4a_k+3}>\sqrt{4a_{k+1}+3}.$$ Esto significa que $$a_{k+1}>a_{k+2}.$$

y por tanto la secuencia es decreciente.

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Ahora, para hallar el límite, pon $a=\lim_{n\to \infty} a_n$ . Entonces $a=\lim_{n\to \infty} a_{n+1}$ también. Así,

\begin{align} \lim_{n \to \infty} a_{n+1}=\lim_{n\to \infty} \sqrt{4a_n+3} \end{align} se convierte en \begin{align} a= \sqrt{4a+3}. \end{align} Ahora resuelve para $a$ y encontrarás tu límite.

Answer 3

La secuencia $\{a_n \}$ es decreciente y converge a $2 + \sqrt 7$

también tenemos $$(a_{n+1} - 2 - \sqrt 7) = \dfrac{4(a_n - 2 - \sqrt 7)}{\sqrt{4a_n + 3} + 2 + \sqrt 7}<\dfrac{4}{2+\sqrt 7}(a_n-2-\sqrt 7)$$ que garantiza la convergencia y la monotonicidad de $a_n$ .

Answer 4

Si $a_{n-1}<a_n$ entonces $\sqrt{4a_{n-1}+3}<\sqrt{4a_n+3}$ Así que $a_n<a_{n+1}$ .