Geometría 3D: Calcular una distancia por ángulos dados

Question

Tengo el ángulo $\psi$ y el $\Delta x$ como puedes ver en la imagen de abajo. Ahora he calculado $\Delta r$ como $\Delta x \cdot \cos(\psi)$ .

Cambiando a 3D ahora quiero introducir una elevación de la línea roja frente al plano x,y por el ángulo $\phi$ . La línea azul seguirá intersectando la línea roja perpendicularmente en $\Delta r_{3D}$ y el eje x en $\Delta x$ . Me han dicho que puedo calcular $\Delta r = \Delta x \cdot \cos(\psi)\cos(\phi)$ .

Puedo entender que todavía puedo calcular $\Delta r = \Delta x \cdot \cos(\Delta x)$ y puedo ver que puedo calcular $\Delta r_{3D}=\Delta r \cdot \cos(\phi)$ si hay un ángulo recto entre $\Delta r_{3D}$ y la línea que lo conecta con $\Delta r$ . No entiendo cómo puedo demostrar que este ángulo recto existe si sólo sé que la línea azul interseca perpendicularmente a la línea roja elevada. ¿Pueden explicarme esto, por favor?

Gracias.

Answer 1

Hay que prestar atención a cómo se dibujan los triángulos rectángulos, cómo se coloca la hipotenusa.

Hay tres ángulos rectos en la vista oblicua. Los planos gris y amarillo forman un ángulo recto a lo largo del pliegue $dm$ . También $O$ Los ángulos marcados son ángulos rectos. Como se trata de 3D estoy etiquetando el mayor segmento diferencial como $ds$ .

El primer componente es

$$dm=ds\, \cos \psi$$

De nuevo, una proyección de la segunda componente da el segmento requerido

$$dm\, \cos \phi =ds\, \cos \psi \cos \phi$$

Answer 2

"Puedo entender que todavía puedo calcular $\Delta r = \Delta x \cdot cos(\Delta x)$ ."

Yo diría:

"Puedo entender que todavía puedo calcular $\Delta r_{horizontal} = \Delta x \cdot cos(\psi)$ ."

Ahora, debido a la elevación, tenemos un componente vertical:

$\Delta r_{vertical} = \Delta x \cdot cos(\phi)$ .

Y por último, para obtener $\Delta r_{3D}$ utilizar a Pitágoras.

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Una vez hecho esto para la línea roja, podemos hacer lo mismo para la línea azul, llamándola $\Delta y$ . Tenemos $\Delta y_{3D}$

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La cuestión es: ¿quieres mantener la perpendicularidad de las "proyecciones roja y azul" o de los "valores verdaderos rojo y azul"?

Dices que hay que mantener la perpendicularidad de los valores reales.

Aplicar Pitágoras al revés. Porque tu triángulo rectángulo está ahora en 3D.

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Espero que le quede claro.

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