Significado geométrico de $\operatorname{Spec}(k[x_1,\ldots, x_n])$

Question

Soy un estudiante principiante de álgebra conmutativa, utilizando el libro álgebra conmutativa de Matsumura. En el libro se refiere a menudo $\operatorname{Spec}(k[x_1,\ldots, x_m])$ a un plano afín donde $k$ es un campo. Pero no entiendo cómo funciona esta identificación. ¿Existe un isomorfismo canónico (u homeomorfismo) entre $\operatorname{Spec}(k[x_1,\ldots,x_n])$ y $\mathbb A^n(k)$ ?

Entiendo que cuando $k$ es algebraicamente cerrado, entonces por el Nullstellensatz de Hilbert podemos identificar los ideales máximos con puntos en $k^n$ pero no estoy seguro de que esté relacionado con esta identificación de ideales primos y $\mathbb A^n(k)$ .

Además, el libro tiene un ejemplo sobre $k[x]$ : Si ponemos $x_1=x(x-1)$ y $x_2=x^2(x-2)$ entonces $\operatorname{Spec}(k[x_1, x_2])$ es el curva afín $x_1^3-x_2^2+x_1x_2=0.$ Veo que esta es la relación que $x_1$ y $x_2$ satisface, pero todavía no veo cómo se pueden asociar los ideales primos con la curva formalmente. Supongo que esta es una imagen elemental y estándar en la mente de uno, pero no veo un mapeo que haga que esta imagen sea formal como principiante. Por favor, corríjanme o proporciónenme algún tipo de idea.

Answer 1

Me gusta la perspectiva del functor de puntos. Quieres pensar en el espacio afín como $k^n$ o más generalmente $R^n$ para un anillo $R$ . El "espacio afín universal" $\operatorname{Spec} k[x_1, ... , x_n]$ como un esquema sobre $k$ tiene la propiedad de que para cualquier $k$ -Álgebra $R$ existe una biyección natural de establece

$$\operatorname{Hom}_{\textrm{$ k $-schemes}}(\operatorname{Spec} R, \operatorname{Spec} k[x_1, ... , x_n]) = R^n. $$

Esto se debe a que el conjunto de la izquierda está naturalmente en biyección con

$$\operatorname{Hom}_{\textrm{$ k $-alg}}(k[x_1, ... , x_n], R)$$

y un $k$ -está completamente determinado por el lugar al que envía $x_1, ... , x_n$ .

Answer 2

La asociación es $(a_1, \dots, a_n) \to (x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n)$ . La topología del subespacio de los ideales máximos coincide entonces con la topología de Zariski en los puntos.

Para su segunda pregunta, dejemos que

$$A = k[x,y]/(x^3 - y^2 +xy) \; .$$

Al establecer $t = y/x$ obtenemos $t(t-1) = \frac{y^2 - yx}{x^2} = x$ y $t^2(t-1) = \frac{y^3 - y^2 x}{x^3} = y \frac{x^3}{x^3} = y$

$$\overline{x} = t(t-1), \overline{y} = t^2 (t - 1) \; ,$$ así que $A \cong k[t(t-1), t^2 (t-1)]$ .

Ahora, recordemos que el Spec de $R/I$ es $V(I)$ el conjunto de ideales primos que contiene $I$ . En nuestro caso, los ideales máximos que contienen $I = (x^3 - y^2 + xy) = (f(x, y))$ son precisamente de la forma $(x - a, y - b)$ como has comentado (correspondientes a puntos), pero esto nos dice que dichos puntos $(a, b)$ satisfacen esta ecuación del ideal contenido, ya que $f(x, y) = p(x, y)(x - a) + q(x, y)(y - b)$ Así, tenemos una asociación con la curva.

Por cierto, esto es sólo mi preferencia pero leí un poco de Matsumura y lo encontré difícil para una primera vez en el álgebra conmutativa, prefiero mucho más a Atiyah-Macdonald.