¿Resolver el problema de valor inicial (C.S.I.R)?

Question

El problema de valor inicial es

$$ \frac{\partial u}{\partial t} +x\frac{\partial u}{\partial x} = x, \ \ 0 \leq x \leq 1, \ \ t > 0 \ \ and$$

$$ u(x,0) = 2x \ \ $$ tiene

1. una solución única $u(x,t) \ \ $ que $\rightarrow \infty \ \ as \ \ t \ \ \rightarrow \infty$
2. más que la solución.
3. una solución que permanece acotada como $ t \rightarrow \infty$ .
4. no hay solución.

He resuelto $\frac{dt}{1} = \frac{dx}{x} = \frac{du}{x}$ obtenemos

$u -x = c_1$ y $ x = c_2 e^t$ obtenemos $ u(x,t) = c_1 + c_2 e^t$ y utilizar $u(x,0) = 2x$ obtenemos $c_1 = x$ obtenemos $u(x,t) = x + c_2 e^t$ .

Creo que (2) es la respuesta correcta.

Por favor, compruebe mi respuesta.

Gracias

Answer 1

Siga el método de http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Example :

$\dfrac{dt}{ds}=1$ , dejando que $t(0)=1$ tenemos $t=s$

$\dfrac{dx}{ds}=x$ , dejando que $x(0)=x_0$ tenemos $x=x_0e^s=x_0e^t$

$\dfrac{du}{ds}=x=x_0e^s$ tenemos $u=x_0e^s+f(x_0)=x+f(xe^{-t})$

$u(x,0)=2x$ :

$x+f(x)=2x$

$f(x)=x$

$\therefore u(x,t)=x+xe^{-t}=x(e^{-t}+1)$ que pertenece a (3).