¿Cuál es el significado intuitivo de la base de un espacio del vector y la?

Question

La definición formal de la base es:

Una base de un espacio vectorial $V$ se define como un subconjunto $v_1, v_2, . . . , v_n$ de los vectores en que son linealmente independientes y span espacio vectorial $V$.

La definición de la distribución es:

Un conjunto de vectores se extiende por un espacio si sus combinaciones lineales de llenar el espacio.

Pero ¿cuál es el significado intuitivo de este, y la idea de un vector tramo? Todo lo que sé hacer es el proceso de solucionar poniendo una matriz en una reducción de la fila-forma escalonada.

Por separado, I"m no está seguro de si debo poner esto en una nueva pregunta, pero alguien podría relacionar este tema con una explicación intuitiva de la fila y espacio columna de espacio? Así que una columna es espacio de todas las combinaciones lineales de cada columna de la matriz $A$. Entonces, ¿qué? ¿Qué implica esto? Y una fila de espacio, es una combinación lineal de todas las filas de $A$, porque en el libro dice que es la columna espacio de $A^T$, que espero que significa la misma cosa. Así, seguro, que es lo que las definiciones de la fila y espacio columna de espacio, pero ¿cómo todos estos conceptos se relacionan? Me estoy poniendo especialmente confundido llegar a los teoremas fundamentales del álgebra lineal parte donde se habla de espacio fila, columna de espacio, y nullspaces todos juntos.

Answer 1

Tomemos, por ejemplo,$V = \mathbb R ^2$, el $x$-$y$ plano. Escribir los vectores como las coordenadas, como $(3,4)$.

Tal coordinar podría ser escrita como una suma de sus $x$ componente y $y$ componente: $$(3,4) = (3,0) + (0,4)$$ y podría ser descompuesto aún más y escrita en términos de una "unidad" x vector y una "unidad" y vector: $$(3,4) = 3\cdot(1,0) + 4\cdot(0,1).$$ El par $\{(1,0),(0,1)\}$ de los vectores span $\mathbb R^2$ , ya que CUALQUIER vector se puede descomponer de esta manera: $$(a,b) = a(1,0) + b(0,1)$$ o, equivalentemente, las expresiones de la forma $a(1,0) + b(0,1)$ llenar el espacio $\mathbb R^2$.

Resulta que el $(1,0)$ $(0,1)$ no son los únicos vectores para la que esto es cierto. Por ejemplo, si tomamos $(1,1)$ $(0,1)$ todavía podemos escribir cualquier vector:

$$(3,4) = 3\cdot(1,1) + 1\cdot(0,1)$$ y, más en general $$(a,b) = a \cdot (1,1) + (b-a)\cdot(0,1).$$

Este hecho está íntimamente ligada a la de la matriz $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ cuyo fila y espacio columna de espacio tanto en dos dimensiones.

Me gustaría seguir, pero tu pregunta es lo suficientemente general que yo podría escribir todo un curso de álgebra lineal. Esperemos que esto le ayudará a comenzar.

Answer 2

Existe una tensión natural entre las ideas de independencia lineal y span. Dado un determinado $n$ dimensiones del espacio, nos gustaría representar cualquier vector $\mathbf x$ en ese espacio como una combinación lineal de un conjunto de vectores $V = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2, \ldots,\mathbf v_m\}$. Así que la pregunta es, ¿qué tipo de requisitos de este conjunto de vectores que se deben satisfacer para que esto sea posible? Por definición, el conjunto de vectores que debe abarcar $\mathbb R^n$, lo cual significa que todo el espacio es accesible con alguna combinación lineal de los vectores, por lo que claramente $m\geq n$. Por desgracia el no rendir una prueba definitiva de que podemos construir $\mathbf x$$V$. Podemos concebir situaciones en las que $V$ contiene más de $n$ vectores sin embargo, ellos no abarcan $\mathbb R^n$ (usted debe entender que $m\geq n$ es una condición necesaria pero no suficiente). Así que si consideramos el caso donde $m > n$ y abarcan $\mathbb R^n$, luego tenemos a muchos vectores. Entonces, ¿cómo podemos saber cuáles son innecesarios? La respuesta es lineal independencia. Cualquier vector en $v$ que es una combinación lineal de los demás es innecesario y puede ser eliminado de la serie. Si queremos eliminar sistemáticamente todos los linealmente dependiente de los vectores del conjunto $V$, entonces tenemos un conjunto linealmente independiente de vectores que abarcan $\mathbb R^n$. Que es una base. Una base es tanto linealmente independiente (no tiene demasiados vectores) y se extiende por el espacio (que tiene suficiente vectores). Por lo tanto la base logre un equilibrio entre el span y la independencia lineal.

Con respecto a la columna y la fila de espacio, usted debe entender que una multiplicación de una matriz de tiempos de un vector puede ser interpretado de dos maneras diferentes. Considere el siguiente $$\mathbf{y=Ax}$$ donde$\mathbf{A}$$m\times n$$\mathbf{x}$$n\times 1$. Se puede interpretar este multiplicación como

1. La combinación lineal de las columnas de a $\mathbf{A}$, o
2. El conjunto de productos de puntos de las filas de $\mathbf{A}$ con el vector $\mathbf{x}$.

Ambos puntos de vista son válidos. En vista de (1), si pensamos acerca de las columnas de a $\mathbf{A}$ (columna de espacio) la formación de una base, podemos pensar en la multiplicación como una composición de los vectores de la base para formar un nuevo vector $\mathbf y$. En vista de (2), si pensamos en las filas de $\mathbf{A}$ (fila espacio) la formación de una base, podemos pensar en la multiplicación $\mathbf{Ax}$ como la representación de $\mathbf x$ en la base (es decir, que estamos proyectando el vector $\mathbf x$ a cada vector fila).

Ahora considere el caso donde las filas de $\mathbf A$ no abarcan $\mathbb R^n$. Luego hay algunos valores de $\mathbf x$ que son ortogonales a toda la fila de espacio. Esto se llama el espacio nulo. El teorema fundamental de álgebra lineal dice que la dimensión del espacio fila más la dimensión del espacio nulo es $n$. Puede usted ver por qué es eso? Es debido a $\mathbb R^n$ es atravesado por la fila de espacio y el espacio nulo, sin embargo todos los vectores en el espacio fila es ortogonal a cada vector en el espacio nulo.

Answer 3

Aquí está una explicación de la distribución en términos de la ecuación lineal de resolución de problemas: Un sistema de $n$ ecuaciones lineales con $m$ variables puede escribirse en la forma $$a_1 x_1 + ... + a_m x_m = b$$ donde $a_1,...,a_m$ $b$ son columnas de longitud $n$ (Cuando la ecuación es dada en forma de matriz $Ax=b$, $a_1,...,a_m$ son sólo las columnas de la matriz $A$). Y tomar un segundo vistazo a este formulario, $b$ se escribe como una combinación lineal de las $a_j$.

Esto significa que $m$ vectores $a_1,...,a_m$ $\mathbb{R}^n$ span $\mathbb{R}^n$ si y sólo si el sistema de ecuaciones $Ax=b$ (donde $A$ es la matriz formada por a $a_1,...,a_m$ como columnas) tiene una solución para todos los de la derecha lados $b\in \mathbb{R}^n$.