¿Pasos para resolver esta relación de recurrencia?

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Soy consciente de que tengo que encontrar el polinomio característico de esta ecuación pero no entiendo cómo tratar $64 . 3^{n-4}$ ¿alguien podría explicar cómo resolver una relación de recurrencia de este tipo?

Además, como este problema se expande no $a_{n-4}$ ¿significa esto que el polinomio característico será algo con $x^4$ ??

Answer 1

Después de obtener la solución homogénea $a_{h,n}$ de la ecuación característica ( $a_{h,n}$ es la solución de la ecuación $a_{h,n}=6\ a_{h,n-2} + 8\ a_{h,n-3}+ 3\ a_{h,n-4}$ ), sólo estamos asumiendo que una solución particular es $a_{p,n}=c_n \cdot 3^n$ . Todo lo que tenemos que hacer es aplicar a la ecuación y encontrar el $c_n$ .

$$a_{p,n}=6 a_{p,n-2} + 8 a_{p,n-3} + 3 a_{p,n-4} + 64\cdot 3^{n-4} \\ \Longrightarrow c_n\ 3^n=6c_{n-2}3^{n-2}+8c_{n-3}3^{n-3}+3c_{n-4}3^{n-4}+64\cdot3^{n-4} \\ \Longrightarrow c_n= 6c_{n-2}/9+8c_{n-3}/27+3c_{n-4}/81+64/81$$

Si se obtiene $a_{p,n}$ correctamente, la solución original es la siguiente

$$a_n=a_{h,n}+a_{p,n}$$

Para todo el procedimiento,

1. Encontrar una solución homogénea a partir del polinomio característico. $a_{h,n}$
2. No aplique las condiciones iniciales porque no está completo.
3. Encuentra una solución particular a partir del método anterior. $a_{p,n}$
4. Crear una solución general utilizando $a_n=a_{h,n}+a_{p,n}$
5. Resuelve la solución general utilizando las condiciones iniciales.