Estoy tratando de entender la prueba de Lema 1.35 (Lema de la carta del colector liso) de John. M. Lee Introducción a los colectores suaves , 2ª edición.
El lema es un lema de existencia y unicidad. Entiendo la parte de la existencia pero no la parte de la unicidad. Aquí expongo el lema y la prueba de la parte de existencia (la prueba es esencialmente una versión detallada de la prueba dada en el libro de Lee).
LEMA. Dejemos que $M$ sea un conjunto y $\{U_\alpha\}_{\alpha\in J}$ sea una colección de subconjuntos de $M$ junto con los mapas $\varphi_\alpha:U_\alpha\to\mathbf R^n$ , de manera que se cumplan las siguientes propiedades:
(i) $\forall \alpha\in J$ : $\varphi_\alpha$ es un mapa inyectivo y $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ está abierto en $\mathbf R^n$ .
(ii) $\forall \alpha,\beta\in J$ Los conjuntos: los conjuntos $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$ y $\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$ están abiertas en $\mathbf R^n$ .
(iii) $\forall\alpha,\beta\in J$ : $U_\alpha\cap U_\beta\neq \emptyset \quad \Rightarrow \quad \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}:\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$ es suave.
(iv) Un número contable de conjuntos $U_\alpha$ portada $M$ .
(v) $ \left. \begin{array}{c} p,q\in M\\ p\neq q \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{c} \exists \alpha\in J\text{ such that } p,q\in U_\alpha,\quad\text{ or}\\ \exists \alpha,\beta\in J\text{ such that } p\in U_\alpha, q\in U_\beta \text{ and } U_\alpha\cap U_\beta=\emptyset \end{array} \right. $
Entonces $M$ tiene una estructura de colector única tal que cada par $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ es un gráfico suave.
PRUEBA. Dejemos que $\mathcal B=\{\varphi_\alpha^{-1}(V):\alpha\in J, V\text{ open in } \mathbf R^n\}$ .
Reclamación 1: $\mathcal B$ constituye una base para $M$ .
Prueba: Utilizamos $(i)$ --- $(iv)$ en esta prueba. De $(iv)$ vemos que los elementos de $\mathcal B$ portada $M$ . Ahora dejemos que $\varphi_\alpha^{-1}(V)$ y $\varphi_\beta^{-1}(W)$ sean dos elementos de $\mathcal B$ , donde $V$ y $W$ están abiertas en $\mathbf R^n$ . Para demostrar que $\mathcal B$ constituye una base, basta con demostrar que $ \varphi_\alpha^{-1}(V)\cap\varphi_\beta^{-1}(W)$ mismo se encuentra en $\mathcal B$ . Tenga en cuenta que \begin{equation*} \varphi_\alpha^{-1}(V)\cap \varphi_\beta^{-1}(W)=\varphi_\alpha^{-1}\Big(V\cap(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})^{-1}(W)\Big) \tag{1} \end{equation*} Pero por (iii), $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ es continua, y por lo tanto $(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})^{-1}(W)$ está abierto en $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$ . Por (ii), $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$ está abierto en $\mathbf R^n$ y por lo tanto $(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})^{-1}(W)$ está abierto en $\mathbf R^n$ . Usando esto en $(1)$ vemos inmediatamente que $\varphi_\alpha^{-1}(V)\cap\varphi_\beta^{-1}(W)$ está en $\mathcal B$ . Esto resuelve la reclamación.
Dejemos que $\tau$ sea la topología generada en $M$ por $\mathcal B$ . Por definición de $\mathcal B$ cada función $\varphi_\alpha$ es un homeomorfismo sobre su imagen. Así, $(M,\tau)$ es localmente euclidiano de dimensión $n$ .
Reclamación 2: $(M,\tau)$ es Hausdorff.
Prueba: Esto utiliza $(v)$ . Sea $p,q\in M$ con $p\neq q$ . Si $\exists \alpha,\beta\in J$ tal que $p\in U_\alpha, q\in U_\beta$ y $U_\alpha\cap U_\beta=\emptyset$ Entonces no tenemos nada que demostrar. La otra posibilidad es que $\exists \alpha\in J$ tal que $p,q\in U_\alpha$ . Ahora bien, desde $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ está abierto en $\mathbf R^n$ existen conjuntos abiertos disjuntos $V$ y $W$ abrir en $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ que contiene $p$ y $q$ respectivamente. Los barrios $\varphi_\alpha^{-1}(V)$ y $\varphi_\alpha^{-1}(W)$ separar $p$ y $q$ en $M$ . Por lo tanto, la reclamación se resuelve.
Reclamación 3: $(M,\tau)$ es segundo contable.
Prueba: Tenga en cuenta que como $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ es segundo contable, y como $\varphi_\alpha:U_\alpha\to\varphi_\alpha(U_\alpha)$ es un homeomorfismo, debemos tener $U_\alpha$ es segundo contable. La prueba es ahora inmediata a partir de $(iv)$ y el lema dado en la parte inferior. El trabajo anterior muestra que $(M,\tau)$ es un topológico $n$ -manifiesto. Ahora desde $(iii)$ está claro que $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in J}$ es un atlas suave en $M$ , dando $M$ una estructura suave.
Ahora tenemos que establecer que esta es la única estructura lisa en $M$ de manera que cada $\varphi_\alpha:U_\alpha\to\varphi_\alpha(U_\alpha)$ es un gráfico suave en $M$ y aquí estoy atascado. De hecho lo que Lee escribe es que "Está claro que esta topología y estructura suave son las únicas que satisfacen las conclusiones (¿condiciones?) del lema". ¿Puede alguien explicarme esto, por favor?
LEMA. Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $\{U_n\}_{n\in\mathbf N}$ sea una cubierta abierta contable de $X$ de manera que cada $U_i$ es segundo contable en la topología del subespacio. Entonces $X$ es segundo contable.
