La parte de singularidad del lema del manifold liso en la introducción a los manifiestos lisos de John M. Lee.

Question

Estoy tratando de entender la prueba de Lema 1.35 (Lema de la carta del colector liso) de John. M. Lee Introducción a los colectores suaves , 2ª edición.

El lema es un lema de existencia y unicidad. Entiendo la parte de la existencia pero no la parte de la unicidad. Aquí expongo el lema y la prueba de la parte de existencia (la prueba es esencialmente una versión detallada de la prueba dada en el libro de Lee).

LEMA. Dejemos que $M$ sea un conjunto y $\{U_\alpha\}_{\alpha\in J}$ sea una colección de subconjuntos de $M$ junto con los mapas $\varphi_\alpha:U_\alpha\to\mathbf R^n$ , de manera que se cumplan las siguientes propiedades:

(i) $\forall \alpha\in J$ : $\varphi_\alpha$ es un mapa inyectivo y $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ está abierto en $\mathbf R^n$ .

(ii) $\forall \alpha,\beta\in J$ Los conjuntos: los conjuntos $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$ y $\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$ están abiertas en $\mathbf R^n$ .

(iii) $\forall\alpha,\beta\in J$ : $U_\alpha\cap U_\beta\neq \emptyset \quad \Rightarrow \quad \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}:\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$ es suave.

(iv) Un número contable de conjuntos $U_\alpha$ portada $M$ .

(v) $\left. \begin{array}{c} p,q\in M\\ p\neq q \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{c} \exists \alpha\in J\text{ such that } p,q\in U_\alpha,\quad\text{ or}\\ \exists \alpha,\beta\in J\text{ such that } p\in U_\alpha, q\in U_\beta \text{ and } U_\alpha\cap U_\beta=\emptyset \end{array} \right.$

Entonces $M$ tiene una estructura de colector única tal que cada par $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ es un gráfico suave.

PRUEBA. Dejemos que $\mathcal B=\{\varphi_\alpha^{-1}(V):\alpha\in J, V\text{ open in } \mathbf R^n\}$ .

Reclamación 1: $\mathcal B$ constituye una base para $M$ .

Prueba: Utilizamos $(i)$ --- $(iv)$ en esta prueba. De $(iv)$ vemos que los elementos de $\mathcal B$ portada $M$ . Ahora dejemos que $\varphi_\alpha^{-1}(V)$ y $\varphi_\beta^{-1}(W)$ sean dos elementos de $\mathcal B$ , donde $V$ y $W$ están abiertas en $\mathbf R^n$ . Para demostrar que $\mathcal B$ constituye una base, basta con demostrar que $\varphi_\alpha^{-1}(V)\cap\varphi_\beta^{-1}(W)$ mismo se encuentra en $\mathcal B$ . Tenga en cuenta que $$\begin{equation*} \varphi_\alpha^{-1}(V)\cap \varphi_\beta^{-1}(W)=\varphi_\alpha^{-1}\Big(V\cap(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})^{-1}(W)\Big) \tag{1} \end{equation*}$$ Pero por (iii), $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ es continua, y por lo tanto $(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})^{-1}(W)$ está abierto en $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$ . Por (ii), $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$ está abierto en $\mathbf R^n$ y por lo tanto $(\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1})^{-1}(W)$ está abierto en $\mathbf R^n$ . Usando esto en $(1)$ vemos inmediatamente que $\varphi_\alpha^{-1}(V)\cap\varphi_\beta^{-1}(W)$ está en $\mathcal B$ . Esto resuelve la reclamación.

Dejemos que $\tau$ sea la topología generada en $M$ por $\mathcal B$ . Por definición de $\mathcal B$ cada función $\varphi_\alpha$ es un homeomorfismo sobre su imagen. Así, $(M,\tau)$ es localmente euclidiano de dimensión $n$ .

Reclamación 2: $(M,\tau)$ es Hausdorff.

Prueba: Esto utiliza $(v)$ . Sea $p,q\in M$ con $p\neq q$ . Si $\exists \alpha,\beta\in J$ tal que $p\in U_\alpha, q\in U_\beta$ y $U_\alpha\cap U_\beta=\emptyset$ Entonces no tenemos nada que demostrar. La otra posibilidad es que $\exists \alpha\in J$ tal que $p,q\in U_\alpha$ . Ahora bien, desde $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ está abierto en $\mathbf R^n$ existen conjuntos abiertos disjuntos $V$ y $W$ abrir en $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ que contiene $p$ y $q$ respectivamente. Los barrios $\varphi_\alpha^{-1}(V)$ y $\varphi_\alpha^{-1}(W)$ separar $p$ y $q$ en $M$ . Por lo tanto, la reclamación se resuelve.

Reclamación 3: $(M,\tau)$ es segundo contable.

Prueba: Tenga en cuenta que como $\varphi_\alpha(U_\alpha)$ es segundo contable, y como $\varphi_\alpha:U_\alpha\to\varphi_\alpha(U_\alpha)$ es un homeomorfismo, debemos tener $U_\alpha$ es segundo contable. La prueba es ahora inmediata a partir de $(iv)$ y el lema dado en la parte inferior. El trabajo anterior muestra que $(M,\tau)$ es un topológico $n$ -manifiesto. Ahora desde $(iii)$ está claro que $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in J}$ es un atlas suave en $M$ , dando $M$ una estructura suave.

Ahora tenemos que establecer que esta es la única estructura lisa en $M$ de manera que cada $\varphi_\alpha:U_\alpha\to\varphi_\alpha(U_\alpha)$ es un gráfico suave en $M$ y aquí estoy atascado. De hecho lo que Lee escribe es que "Está claro que esta topología y estructura suave son las únicas que satisfacen las conclusiones (¿condiciones?) del lema". ¿Puede alguien explicarme esto, por favor?

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LEMA. Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $\{U_n\}_{n\in\mathbf N}$ sea una cubierta abierta contable de $X$ de manera que cada $U_i$ es segundo contable en la topología del subespacio. Entonces $X$ es segundo contable.

Answer 1

Sobre la topología: Cada $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ tiene que ser un gráfico, lo que significa que $\varphi_\alpha$ es un homeomorfismo en su imagen, por lo que para cada subconjunto $V\subset U_\alpha$ , $V$ es abierto si y sólo si $\varphi_\alpha(V)\subset\mathbb{R}^n$ está abierto. Desde el $U_\alpha$ s cubierta $M$ significa que la colección de subconjuntos abiertos de elementos en $\{\varphi_\alpha(U_\alpha)\}$ induce una base de una topología sobre $M$ por lo que la topología es realmente única.

En cuanto a la estructura lisa: La cosa es que dado un atlas $\{U_\alpha,\varphi_\alpha\}$ siempre determina una estructura lisa única. Para ver esto, observe que si $(V,\psi),(V',\psi')$ ambos "coinciden" con el atlas dado (es decir, todos los mapas de transición obtenidos son suaves), se deduce de la regla de la cadena que estos dos gráficos también coinciden entre sí. Por lo tanto, no hay elección a la hora de ampliar un atlas a una estructura lisa: basta con añadir cada que concuerda con el atlas dado.

Una vez más, ya que el $U_\alpha$ de la portada $M$ la colección dada es un atlas y, por tanto, induce una estructura lisa única.