¿Cómo se explica la regla de Cramer sin matrices?

Question

¿Dónde puedo encontrar una explicación de La regla de Cramer que no haga uso de matrices?

Las matrices son convenientes, pero creo que añaden una capa de opacidad a las matemáticas subyacentes. Sin ellas, ¿podría ser más fácil llegar a una comprensión mayor y más intuitiva de esta regla?

Answer 1

Para una comprensión intuitiva es suficiente considerar el caso de 3 ecuaciones.

Resolver un sistema de 3 ecuaciones lineales de 3 variables es equivalente a resolver un problema geométrico: dados 4 vectores $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ y $\vec{X}$ encontrar $a$ , $b$ y $c$ tal que $a*\vec{A} + b*\vec{B} + c*\vec{C} = \vec{X}$ .

Empecemos por encontrar $a$ . Debe tomar $a$ tal que la distancia desde $a*\vec{A}$ al avión $(\vec{B}, \vec{C})$ es la misma que la distancia del vector $\vec{X}$ a este plano. Porque añadir $b*\vec{B} + c*\vec{C}$ no cambiaría esa distancia, y quieres conseguir $\vec{X}$ como resultado.

Definamos $V(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3})$ = volumen del paralelepípedo determinado por estos 3 vectores.

Tenga en cuenta que $V(a\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}) = V(\vec{X}, \vec{B}, \vec{C})$ . Esto se debe a que $a*\vec{A}$ y $\vec{X}$ tiene la misma distancia al plano $(\vec{B}, \vec{C})$ .

Así que:

$a=V(\vec{X}, \vec{B}, \vec{C}) / V(\vec{A}, \vec{B}, \vec{C})$

Nótese que obtengo este resultado sin utilizar las palabras "matriz" o "determinante".

El problema ahora es cómo calcular estos volúmenes. Lo cual es fácil: el volumen del paralelepípedo determinado por vectores es un determinante de una matriz, cuyos elementos son coordenadas de vectores.

Y así tenemos la regla de Cramer.

Esta explicación no es muy rigurosa (¿qué pasa si $\vec{B}$ y $\vec{C}$ son colineales?), pero para la comprensión intuitiva debería estar bien.