Demuestre geométricamente que $\frac{2\cdot3}{4} + \frac{2\cdot3}{16} + \frac{2\cdot3}{64} + \cdots + \frac{2\cdot3}{4^n} + \cdots = 2$

Question

Se supone que debo dar una "prueba de imagen" para esto, pero todavía estoy teniendo problemas para demostrarlo en primer lugar. Intenté una prueba por inducción pero no creo que sea así como se supone que debo responder a la pregunta. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

He tomado esta ilustración de Artículo de Wikipedia sobre series geométricas :

¿Quizás sea sugerente?

Answer 2

Sea S_0 el rectángulo de dimensión(2x3);

S_n be the rectangle with dimension(2^(1-n),3x2^(-n));

A_required= Area coloured with pink, which is equivalent to:

           (2x3)/4+(2x3)/16+...    ;

A_complement= Area coloured with purple

            = Area complementary to A_required in S_0 /2;

Lo tenemos:

A_required = S_1 + S_2 + ...

A_complemento= 2(S_2 + S_3 + ...)

Así que

A_requerido - A_complemento/2 = S_1 = 3/2 --(1)

A_required + A_complemento = 3

A_required/2 + A_complement/2 = 3/2 --(2);

(1)+(2),

(3/2)A_required=3

Por tanto, A_required=2

Answer 3

Sugerencia: Divide la ecuación $$ \frac 64+\frac6{4^2}+\cdots = 2 $$ por $6$ para obtener $$ \frac 14+\frac 1{4^2}+\cdots = \frac 13 $$

Para una prueba geométrica, empieza con un cuadrado unitario. Colorea uno de los cuatro cuartos del cuadrado. A continuación, repite utilizando uno de los otros cuartos. Enlace a la imagen: http://3.bp.blogspot.com/_PnLYRqe0k9g/Smp9INIigTI/AAAAAAAAAI0/gQyMxj1hry0/s1600-h/Sum+De+Fracciones+Inversas+Potencias+de+4.png
\==Modo alternativo de probarlo:==
Esto puede hacerse mediante series geométricas. Otra forma es multiplicar por $4$ y reescribirlo: $$ \frac 14+\frac 1{4^2}+\cdots =S\\ 4S = S + 1\\ S=\frac 13 $$