Serie Taylor $ \sqrt{\frac{t}{t+1}}$

Question

¿Podría alguien decirme cómo calcular $ \sqrt{\frac{t}{t+1}}$

debe ser $ \sqrt t - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} +O(t^{\frac{5}{2}}) $

Answer 1

$$\frac{t}{1+t}=t(1-t+t^2-\ldots)\implies\sqrt\frac{t}{1+t}=\sqrt{t\left(1-t+t^2-\ldots\right)}=$$

$$=\sqrt t\,\sqrt{1-t+\ldots}=\sqrt t\left(1-\frac{t}{2}-\frac{t^2}{4}+\ldots\right)=\sqrt t-\frac{t^{3/2}}{2}+\mathcal O(t^{5/2})$$

desde

$$\sqrt {1-x}=1+\frac{x}{2}-\frac{1}{4}x^2+\ldots$$

Answer 2

Simple: $$ \sqrt{\frac{t}{1 + t}} = \sqrt{t} \cdot (1 + t)^{-1/2} $$ Ahora utiliza el teorema del binomio: $$ (1 + t)^{-1/2} = \sum_{n \ge 0} \binom{-1/2}{n} t^n $$ Ahora: $$ \binom{-1/2}{n} = (-1)^{n - 1} 2^{-2n} \binom{2n}{n} $$