Problema de factorización de polinomios

Question

Me preguntaba si la siguiente afirmación es correcta:

Dejemos que $P(x,y)$ sea un polinomio real, y $\gcd(r,s)=1$ . Si $y-x^s$ divide $P(x^r,y)$ entonces $y^r-x^{rs}$ divide $P(x^r,y)$ (ambos en el ámbito real).

Mi idea es que si $y-x^s$ divide $P(x^r,y)$ y como $\gcd(r,s)=1$ el polinomio $P(x^r,y)$ también debe tener todos los "factores conjugados" correspondientes para cancelar los términos de $P(x^r,y)$ con orden de $x$ no divisible por $r$ .

Answer 1

La afirmación es correcta. Demostramos que los factores conjugados también dividen $P(x^r,y)$ como usted sugirió.
Dejemos que $Q(x,y)=P(x^r,y)$ . Para un $r$ -raíz de la unidad $\zeta\in\Bbb C$ consideremos el homomorfismo $\psi:\Bbb C[x,y]\to\Bbb C[x,y]$ inducido por $x\mapsto \zeta x,y\mapsto y$ . Tenga en cuenta que tenemos $\psi(Q)=Q$ . Así, $\psi(y-x^s)=y-\zeta^sx^s\mid\psi(Q)=Q$ en $\Bbb C[x,y]$ . Como $(r,s)=1$ el mapa $\zeta\mapsto \zeta^s$ es una permutación del $r$ -Raíces de la unidad. Concluimos que $y-\zeta x^s\mid Q$ para todos $\zeta$ tal que $\zeta^r=1$ . Esto implica $$y^r-x^{rs}=\prod_{\zeta^r=1}(y-\zeta x^s)\mid Q(x,y)=P(x^r,y)$$ en $\Bbb C[x,y]$ y por lo tanto también en $\Bbb R[x,y]$ .