Un límite sobre $\int_0^\infty x^{-x}e^{tx}dx$

Question

Cómo probar $$\lim_{t\to +\infty}\frac{\int_0^{+\infty} x^{-x}e^{tx}dx}{e^{\frac12(t-1)+e^{t-1}}}=\sqrt{2\pi}.$$ Alguien hizo esta difícil pregunta, he probado la fórmula Taylor de $e^x$ pero falló, ¿podría mostrarme el método?

Answer 1

Escribir $x^x = \exp(x \ln x)$ su integral es $$ \int_0^\infty \exp((t - \ln x)x) \; dx$$ El máximo de $(t - \ln x) x$ con respecto a $x > 0$ se produce en $x_0 = \exp(t-1)$ y tomando una serie de Taylor alrededor de ese punto

$$ (t - \ln x)(x) = x_0 - \dfrac{(x - x_0)^2}{2 x_0} + O((x-x_0)^3)$$

Por lo tanto (después de cuidar algunos detalles) su integral es asintótica como $t \to \infty$ a $$ \int_{-\infty}^\infty \exp\left(x_0 - \dfrac{(x - x_0)^2}{2 x_0}\right)\; dx = \sqrt{2\pi} \exp\left(e^{t-1} + t/2 - 1/2\right) $$