La función $E(z)=\lambda e^{z}$ con $0<\lambda<1/e$ tiene un punto de atracción en $p\in \mathbb{R}$ . Utilizando las coordenadas de Koenings, si $U$ es la cuenca de atracción inmediata para $p$ ¿Por qué? $E(U)$ ¿no es un componente completo de Fatou? Esto era parte a de una prueba, y no entiendo este paso.
Respuesta
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Las coordenadas de Koenig son inyectivas sólo en una vecindad del punto fijo, pero no en toda la cuenca atrayente inmediata $U$ . Por lo tanto, no se puede utilizar para demostrar que $E(U)$ está estrictamente contenida en $U$ (que de hecho no es el caso).
Su pregunta se puede reformular como : demostrar que $E(U)=U -\{0\}$ . Como el conjunto de Fatou es invariante, está claro que $E(U)$ es un subconjunto abierto y conexo de $U$ . Sea $z_0 \in U$ y que $y \in U - \{0\}$ : para ver que $y \in E(U)$ , elija un camino $\gamma$ en $U$ unirse a $f(z_0)$ y $y$ y evitar $0$ . Puede cubrir $\gamma$ por un número finito de discos $U_i \subset U$ en la que una inversa local $f^{-1}$ está bien definida, y coinciden en las intersecciones de la $U_i$ , de tal manera que $f^{-1}(f(z_0))=f(z_0)$ . Dado que cada $\gamma(t)$ está en $U$ Cada uno de ellos $f^{-1}(\gamma(t))$ está en el conjunto Fatou, por lo que en $U$ (de lo contrario, se cruzaría el límite de $U$ en algún momento). Así que $f( \gamma(1) ) =y$ y $\gamma(1) \in U$ , QED.
Nota: de forma más general, el argumento (continuación analítica de $f^{-1}$ ) demuestra que para cualquier mapa holomorfo $f: \mathbb C \to \mathbb C$ la imagen de un componente de Fatou $U$ es $f(U) - O$ , donde $O$ es el conjunto de valores omitidos (es decir $f(\mathbb C)=\mathbb C- O$ . Por el teorema de Picard, $O$ es finito y tiene como máximo un cardinal.
