¿No es el cero la única solución real posible para esta sencilla EDO?

Question

La ecuación es muy sencilla: $$(D^2+i)x(t)=0$$ Claramente, los valores propios son $\lambda_{1,2}=\pm(-\sqrt{2}/2+i\sqrt2 /2)$ por lo que las soluciones complejas deben ser $$x(t)=(A+Bi)e^{\left(-\sqrt{2}/2+i\sqrt{2}/2\right)t}+(C+Di)e^{\left(\sqrt{2}/2-i\sqrt{2}/2\right)t},\quad A,B,C,D\in\Bbb R$$ Para encontrar las soluciones reales, descompongo la expresión en las partes real e imaginaria como $$x(t)=e^{-t\sqrt2/2}(A\cos\frac{\sqrt 2}{2}t-B\sin\frac{\sqrt 2}{2}t)+e^{t\sqrt2/2}(C\cos\frac{\sqrt 2}{2}t+D\sin\frac{\sqrt 2}{2}t)+i\left[ e^{-t\sqrt2/2}(B\cos\frac{\sqrt 2}{2}t+A\sin\frac{\sqrt 2}{2}t)+e^{t\sqrt2/2}(D\cos\frac{\sqrt 2}{2}t-C\sin\frac{\sqrt 2}{2}t) \right]$$ Así que dejé que las partes imaginarias fueran $0$ , lo que significa que $$(e^{-t\sqrt2/2}B+e^{t\sqrt2/2}D)\cos\frac{\sqrt 2}{2}t+(e^{-t\sqrt2/2}A-e^{t\sqrt2/2}C)\sin\frac{\sqrt 2}{2}t=0,\quad\forall t\in\Bbb R$$ Creo que es equivalente a $$B=-De^{t\sqrt2}\quad\text{and}\quad A=Ce^{t\sqrt2}$$ desde $(e^{-t\sqrt2/2}B+e^{t\sqrt2/2}D)$ y $e^{-t\sqrt2/2}A-e^{t\sqrt2/2}C$ son ambas funciones continuas.

Pero cuando conecto las relaciones entre $A,B,C,D$ de nuevo en las soluciones complejas, obtengo $$x(t)=2e^{t\sqrt2/2}(C\cos\frac{\sqrt 2}{2}t+D\sin\frac{\sqrt 2}{2}t)$$ que no es cero.

He examinado y reexaminado mis cálculos y el resultado sigue siendo el mismo. No sé en qué me equivoco, pero sé que debo estar equivocado, porque si $x(t)$ es una función de valor real no nula, $D^2x(t)=-ix(t)$ nunca tendría sentido.

¿Pueden ayudarme a salir de este problema? Gracias de antemano.

Answer 1

Las partes real e imaginaria de la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea son soluciones si la ecuación diferencial tiene real coeficientes. En este caso, el $i$ en la ecuación diferencial no es real, y las partes real e imaginaria no son soluciones.

Es cierto que $0$ es la única solución real a su ecuación. Escríbela como $D^2 x = - i x$ . Si $x$ es real, dos veces diferenciable y distinto de cero en algún intervalo, el lado izquierdo es real mientras que el lado derecho no lo es.

Answer 2

Como señaló martini en un comentario, las "constantes" $A$ , $B$ , $C$ y $D$ debe ser constante para una ecuación diferencial lineal, autónoma y homogénea; porque de lo contrario se obtendrían términos extra si se sustituyera esa solución "general" en la ecuación diferencial

$$ x(t) = \left(A(t) + i B(t)\right) e^{\frac{i-1}{\sqrt2}t} + \left(C + i D\right) e^{\frac{1-i}{\sqrt2}t}, \tag{1} $$

$$ x''(t) = \left[-i \left(A(t) + i B(t)\right) + \sqrt2(i-1) \left(A'(t) + i B'(t)\right) + \left(A''(t) + i B''(t)\right)\right] e^{\frac{i-1}{\sqrt2}t} - i \left(C + i D\right) e^{\frac{1-i}{\sqrt2}t}, \tag{2} $$

así que

$$ x''(t) + i x(t) = \left[\sqrt2(i-1) \left(A'(t) + i B'(t)\right) + \left(A''(t) + i B''(t)\right)\right] e^{\frac{i-1}{\sqrt2}t} = 0,\ \forall t \in \mathbb{R}. \tag{3} $$

Si se define $F(t)=A'(t) + i B'(t)$ entonces $F(t)$ se puede encontrar resolviendo la ecuación diferencial de primer orden

$$ F'(t) + \sqrt2(i-1) F(t) = 0, \tag{4} $$

que tiene la solución

$$ F(t) = \alpha e^{-\sqrt2(i-1)t}, \tag{5} $$

donde $\alpha$ puede ser cualquier constante compleja. Integrando esta función se obtiene

$$ A(t)+iB(t) = \frac{\alpha}{-\sqrt2(i-1)} e^{-\sqrt2(i-1)t} + \beta = \alpha^* e^{-\sqrt2(i-1)t} + \beta, \tag{6} $$

donde $\beta$ puede ser cualquier constante compleja y $\alpha^*$ es la constante compleja simplificada de $\frac{\alpha}{-\sqrt2(i-1)}$ . Sustituyendo $(6)$ a $(1)$ se obtiene

$$ x(t) = \beta e^{\frac{i-1}{\sqrt2}t} + \left(\alpha^* + C + i D\right) e^{\frac{1-i}{\sqrt2}t}, \tag{7} $$

que no es más que otra combinación lineal de las soluciones generales. Sin embargo, sus soluciones para $A(t)$ y $B(t)$ no satisfacen $(4)$ . Por lo tanto, la única solución para

$$ B = -D e^{t\sqrt2} \quad \text{and} \quad A = C e^{t\sqrt2} $$

sería $A=B=C=D=0$ que también devolverá una parte real siempre nula de $x(t)$ .