Si $a^{1/a}=b^{1/b}=c^{1/c}$ y $a^{bc}+b^{ac}+c^{ab}=729$ , hallar el valor de $a^{1/a}$

Question

Si $a^{1/a}=b^{1/b}=c^{1/c}$ y $a^{bc}+b^{ac}+c^{ab}=729$ ¿Cuál de las siguientes es igual a $a^{1/a}$ ?

1. $\sqrt[abc]{81}$
2. $\sqrt{2}$
3. $\sqrt[abc]{27}$
4. $\sqrt[abc]{9}$

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Esta pregunta es del libro, Matemáticas, Clase 9 (The IIT Foundation Series) página número 1.25, pregunta número 58.

Mis intentos de resolver esta cuestión han fracasado varias veces. Sin embargo, he encontrado el valor de $a^{1/a}$ pero no en el formato correcto. A continuación se muestra mi método para hacerlo.

$$a^{1/a}=b^{1/b}=c^{1/c}$$ $$\Rightarrow \sqrt[a]{a}=\sqrt[b]{b}=\sqrt[c]{c}$$ $$\Rightarrow (\sqrt[a]{a})^{abc}=(\sqrt[b]{b})^{abc}=(\sqrt[c]{c})^{abc}$$ $$\Rightarrow a^{bc}=b^{ac}=c^{ab}$$

Aquí concluyo nuestra primera ecuación, $a^{bc}=b^{ac}=c^{ab}$ . Pasando a la siguiente ecuación, tenemos:

$$a^{bc}+b^{ac}+c^{ab}=729$$ $$\Rightarrow a^{bc}+b^{ac}+c^{ab}=729$$ $$\Rightarrow a^{bc}+a^{bc}+a^{bc}=729$$ $$\Rightarrow 3a^{bc}=729$$ $$\Rightarrow a^{bc}=243$$ $$\Rightarrow (a^{bc})^{1/abc}=243^{1/abc}$$ $$\Rightarrow a^{1/a}=\sqrt[abc]{243}$$ $$\Rightarrow a^{1/a}=\sqrt[abc]{3^5}$$

Aquí finalmente encuentro el valor de $a^{1/a}$ como $\sqrt[abc]{3^5}$ . Sin embargo, ninguna de las opciones coincide con mi resultado. Por favor, ayúdenme a resolver la pregunta por completo. Gracias.

Answer 1

Creo que la pregunta es errónea.

Tus matemáticas son correctas lo que significa que ninguna de las opciones es correcta y como eso no está en las opciones, la pregunta es incorrecta.

Por cierto si investigas entonces te darás cuenta que la pregunta funcionaría si

$a^{bc}b^{ac}c^{ab}=729$

era una de las condiciones más que

$a^{bc}+b^{ac}+c^{ab}=729$