Esta pregunta se refiere a mis intentos de reimplantar partes de este documento en el desarrollo de filtros wavelet. Aunque no creo que sea necesario mirar ese documento, para tener un contexto completo, estoy tratando de calcular el contenido de la tabla II (usando la ecuación 9 y la descripción bajo el título Una variante de Spline con longitudes menos dispares ).
Para resumir la técnica, tenemos un polinomio trigonométrico en $e^{-i\xi}$ (con coeficientes reales) dado por el producto de dos factores, $H\left(\xi\right)$ y $\hat{H}\left(\xi\right)$ .
Estos factores se definen como sigue: $$ H\left(\xi\right) = 2^{-\frac{1}{2}}\left.\sum_n h_ne^{-in\xi}\right.\qquad \hat{H}\left(\xi\right) = 2^{-\frac{1}{2}}\left.\sum_n \hat{h}_ne^{-in\xi}\right. $$ en la que los coeficientes son simétricos respecto a $n=0$ Es decir $h_n = h_{-n}$ y $\hat{h}_n = \hat{h}_{-n}$ .
Queremos derivar esos factores para que tengan un número de coeficientes distintos de cero lo más cercano posible (que sé que son 9 y 7 para $h_n$ y $\hat{h}_n$ respectivamente para el caso descrito a continuación).
El polinomio que tenemos es de una forma simétrica simple (derivada de la ecuación 9 de la referencia anterior) y es el siguiente (es posible que me haya equivocado en el álgebra anterior, pero estoy seguro de que la forma es correcta):
Definición de $B = e^{-i\xi}$ $$ H\left(\xi\right)\hat{H}\left(\xi\right) = \frac{B^{-7}}{2^8}\left[-\frac{5}{16}\left(B^{14} + 1\right) + \frac{49}{16}\left(B^{12} + B^{2}\right) - \frac{245}{16}\left(B^{10} + B^{4}\right) + \frac{1225}{16}\left(B^{8} + B^{6}\right) + 128B^{7}\right] $$
Teniendo en cuenta esto, puedo definir $H\left(\xi\right)$ y $\hat{H}\left(\xi\right)$ de la siguiente manera: $$ H\left(\xi\right) = B^{-4}2^{-\frac{1}{2}}\left[h_0B^4 + \sum_{n=1}^{4} h_n\left(B^{4+n} + B^{4-n}\right)\right]\\ \hat{H}\left(\xi\right) = B^{-3}2^{-\frac{1}{2}}\left[\hat{h}_0B^3 + \sum_{n=1}^{3} \hat{h}_n\left(B^{3+n} + B^{3-n}\right)\right] $$ en el que deseo encontrar $h_n$ y $\hat{h}_n$ .
Ahora bien, siempre puedo multiplicar y ampliar lo anterior e intentar igualar los coeficientes a mano, pero esto parece largo, tedioso y propenso a errores.
¿Hay alguna técnica que pueda utilizar para automatizar esta tarea? Inicialmente pensé en una técnica matricial, pero no me resulta obvio cómo. Puede que sea realmente trivial, ¡así que no dudes en señalarlo como tal!
Edición: Estoy bastante seguro de que necesito una restricción adicional para resolver esto de forma única. En este caso es: $$ \sum_n (-1)^n h_n = 0 \\ \sum_n (-1)^n \hat{h}_n = 0 \\ $$ Mis disculpas, acabo de llegar a esta conclusión.
