Parábola es una elipse, pero con un punto focal en el infinito

Question

Mientras estaba leyendo sobre secciones cónicas, me encontré con la siguiente declaración:

Una parábola es una elipse, pero con un punto focal en el infinito.

Pero no me queda claro. ¿Alguien me lo puede explicar claramente?

Answer 1

La ecuación para una elipse con un foco en $(0,0)$ y el otro en $(0,2ae)$ manteniendo $a(1-e)=f$ (donde $f$ es la distancia desde el vértice hasta el foco de la elipse, que resulta ser la longitud focal de la parábola) es $$ \frac{x^2}{a^2(1-e^2)}+\frac{(y-ae)^2}{a^2}=1 $$ lo cual es equivalente a $$ \frac{x^2}{f(1+e)}+\frac{y^2-2aey}{a}=f(1+e) $$ Si dejamos que $a\to\infty$ (y por lo tanto $e=1-\frac fa\to1$), obtenemos $$ y=\frac{x^2}{4f}-f $$ que es una parábola.

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Answer 2

Imagina una elipse hecha de material reflectante. Los rayos de luz que emanan de un foco y se reflejan en la elipse serán reflejados hacia el otro foco. (Esto, aplicado a ondas sonoras en lugar de rayos de luz, es el principio detrás de las galerías susurrantes). Ahora imagina en cambio una parábola hecha de material reflectante. Los rayos de luz que emanan de su foco y se reflejan en la parábola serán reflejados en la dirección paralela al eje de la parábola. (Una aproximación a esto parece estar involucrada en los faros de los automóviles). Por lo tanto, si piensas, como en la geometría proyectiva, en líneas paralelas que se "encuentran en el infinito", entonces el punto en el infinito en el eje de una parábola desempeña el mismo papel que el otro foco de una elipse.

Answer 3

Como muestran otras respuestas, tiene perfectamente sentido considerar una parábola como miembro límite de una familia de elipses. Uno también podría llamarla una sección cónica que toca la línea en el infinito, y estoy seguro de que otras visualizaciones son posibles.

Pero no creo que se pueda decir que en el límite "uno de los focos está en el infinito". Debemos enfrentar el hecho de que en el límite uno de los focos ha desaparecido de una vez por todas. Los focos pertenecen estrictamente a la geometría euclidiana y a las elipses "finitas" y a las hipérbolas en el plano euclidiano. Incluso las transformaciones afines destruyen su carácter distinguido, por no mencionar las transformaciones proyectivas que entran en juego cuando hablamos de puntos en el infinito.

Answer 4

Piensa en un par de conos con ejes verticales y ángulos de cono idénticos, uno mirando hacia arriba y otro hacia abajo. Colócalos de manera que se toquen en un punto. Por ahora, llamaré a esto un "cono".

Si cortas este objeto con un plano perpendicular al eje, obtendrás un círculo de algún radio, o tal vez un solo punto, que podrías llamar un círculo de radio 0.

Si lo cortas con un plano ligeramente inclinado, obtendrás una elipse (o un solo punto). Así que círculos y elipses son ambos "secciones transversales" de un cono, o "secciones cónicas".

Si inclinas el plano de corte aún más, de manera que esté casi vertical, intersectará ambos conos, dando como resultado una hipérbola, o si el plano pasa a través del punto del cono, un par de líneas que se cruzan. Así que las líneas que se cruzan son una especie de "límite" de las hipérbolas.

Regresemos a las elipses: coloca el plano para cortar una elipse de la mitad superior del cono. Inclina más y más tu plano de corte, haciendo que la elipse sea más y más excéntrica. Existe un último grado posible de inclinación antes de comenzar a cortar también la parte inferior del cono. En esa inclinación, la intersección ya no es una elipse, sino más bien una parábola.

Por lo tanto, es razonable decir que una parábola es un límite de elipses.

Por supuesto, si inclinas un poco más, empiezas a obtener hipérbolas, así que también es razonable decir que una parábola es un límite de hipérbolas.