Resolver un límite sin llegar a una expresión indeterminada

Question

Encuentra el límite de :

$$\lim\limits_{x \to 0^+}{(2\sqrt{x}+x)^\frac{1}{\ln x}}{}$$

He intentado que parezca un exponente de e:

$$e^\frac{\ln (2*\sqrt{x}+x)}{\ln x}$$

pero, de nuevo llego a una forma indeterminada de infinito dividido por infinito.

Luego he intentado utilizar la regla de L'Hospital, que tampoco parece funcionar.

Answer 1

Hacer que se cumpla la sustitución $x=e^t$ . Entonces, tenemos

$$\begin{align} \lim_{x\to0^+}\left(2\sqrt x+x\right)^{1/\log(x)}&=\lim_{t\to-\infty}\left(2e^{t/2}+e^t\right)^{1/t}\\\\ &=e^{1/2}\lim_{t\to-\infty}\left(2+e^{t/2}\right)^{1/t}\\\\ &=e^{1/2} \end{align}$$

Answer 2

Según l'Hopital, $$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(2\sqrt x+x)}{\ln x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{(x^{-1/2}+1)\frac1{2\sqrt x+x}}{\frac1x} $$ si este último existe. Pero $$\lim_{x\to0^+}\frac{(x^{-1/2}+1)\frac1{2\sqrt x+x}}{\frac1x} =\lim_{x\to0^+}\frac{{\sqrt x+x}}{2\sqrt x+x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1+\sqrt x}{2+\sqrt x}=\frac12. $$

Answer 3

Nota $x^{1/\ln x} = e,$ que se deduce de la aplicación de $\ln$ a ambos lados. Así, $\sqrt x^{1/\ln x} = e^{1/2}.$

Ahora $x<\sqrt x$ para $0<x<1,$ y porque el poder $1/\ln x<0,$ tenemos

$$(3\sqrt x)^{1/\ln x} < (2\sqrt x+x)^{1/\ln x} < (2\sqrt x)^{1/\ln x}$$

para $x$ en este rango. El lado izquierdo es igual a $3^{1/\ln x}e^{1/2}.$ Como $x\to 0^+,$ el límite de esto es $3^0\cdot e^{1/2}= e^{1/2}.$ Del mismo modo, el lado derecho $\to e^{1/2}.$ Por lo tanto, $e^{1/2}$ es el límite deseado.

Answer 4

L'Hospital no es necesario.

$$(2\sqrt x+x)^{1/\ln x}=(2+\sqrt x)^{1/\ln x}\sqrt x^{1/\ln x}.$$

El primer factor tiende a $(2+0)^0=1$ y el segundo a $e^{\ln x/2\ln x}=\color{green}{\sqrt e}$ .