Definición de representación de grupos de Lie

Question

Soy nuevo en los grupos de Lie, y tengo algunos problemas con la definición de la representación de los grupos de Lie.

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie real o complejo, la definición de representación de grupo de Lie (de dimensión finita) es exactamente la definición de representación de grupo, hasta algunas convenciones: Sea $G$ sea un grupo, y que $V$ sea un espacio vectorial real o complejo de dimensión finita, y sea $\pi:G\to GL(V)$ sea un morfismo de grupos . Entonces $(V,\pi)$ es una representación de dimensiones finitas de $G$

Si $G$ es un grupo de Lie real o complejo, queremos $\pi$ para ser un morfismo de grupos de Lie, y $GL(V)$ para ser un grupo de Lie.

La única forma que se me ocurre $GL(V)$ como grupo de Lie es $V\cong\mathbb{C}^n$ (y respectivamente $\mathbb{R}^m$ ) donde $\dim(V)=n$ Entonces, $GL(V)$ tiene una estructura de grupo de Lie.

¿Estoy en lo cierto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tienes razón. Para ser precisos:

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre $K$ (aquí $K=\mathbb{R}$ o $K=\mathbb{C}$ ). Fijar alguna base de $V$ . Entonces cualquier mapa lineal $f:V\to V$ puede representarse como $n\times n$ matriz sobre $K$ , donde $n=\dim(V)$ observando cómo se representan los vectores base después de pasar por $f$ . Esto es el álgebra lineal clásica. Además, el anillo de todos los mapas lineales $End(V)$ es naturalmente isomorfo al anillo de matrices $M_n(K)$ de todos $n\times n$ matrices sobre $K$ .

En esa situación el grupo de todos los mapas lineales invertibles $GL(V)\subseteq End(V)$ es naturalmente isomorfo al grupo de todas las matrices invertibles $GL_n(K)\subseteq M_n(K)$ .

Finalmente cualquier $n\times n$ matriz sobre $K$ puede interpretarse en realidad como un elemento de $K^{n\times n}$ . Ahora $M_n(K)$ es en realidad isomorfo (como espacio lineal) a $K^{n\times n}$ . Por lo tanto, ambos $M_n(K)$ y $GL_n(K)$ heredan la estructura topológica y métrica de $K^{n\times n}$ . Además $M_n(K)\simeq K^{n\times n}$ hereda la estructura diferencial de $K^{n\times n}$ es un colector. Pero como el determinante es una función continua y $GL_n(K)=\det^{-1}(K\backslash\{0\})$ entonces $GL_n(K)$ es un subconjunto abierto de $K^{n\times n}$ . Por lo tanto, también es un colector. Lo único que queda es demostrar que la multiplicación de matrices y la toma de la inversa es suave, lo que requiere algo de trabajo, pero no es tan difícil.