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La desigualdad de interpolación de Gagliardo-Nirenberg cuando $p=N\geq 2$ y el orden de la derivada más alta es $1$

Estoy repasando la demostración de la desigualdad de interpolación de Gagliardo-Nirenberg, en A First Course in Sobolev Spaces, por Giovanni Leoni, Capítulo 12 . Aquí me encuentro con un problema de Ejercicio viene en medio de la prueba (página 376):

Dejemos que $u\in \dot{W}^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ , $N\geq 2$ con $u\in L^q(\mathbb{R}^N)$ para algunos $1\leq q<\infty$ . Sea $v:=|u|^t$ , donde $t>1$ es tal que $v\in W^{1,1}(\mathbb{R}^N)$ . Demostrar que $$\|u\|_{L^{tN/(N-1)}}\leq c\|u\|_{L^{(t-1)N/(N-1)}}^{(t-1)/t}\|\nabla u\|_{L^N}^{1/t}.$$

Aquí $\dot{W}^{1,N}$ denota un espacio de Sobolev homogéneo.

Mi mejor intento fue que, utilizando $L^p$ tipo de desigualdad de interpolación a $\|v\|_{L^{N/(N-1)}}$ como $\frac{1}{\frac{N}{N-1}}=\frac{1-\frac{1}{t}}{\left(1-\frac{1}{t}\right)\frac{N}{N-1}}+\frac{\frac{1}{t}}{\infty}$ , $$\|u\|_{L^{tN/(N-1)}}=\|v\|_{L^{N/(N-1)}}^{1/t}\leq\|v\|_{L^{(1-1/t)N/(N-1)}}^{(1-1/t)1/t}\| v\|_{L^\infty}^{1/t^2}\\=\|u\|_{L^{(t-1)N/(N-1)}}^{(t-1)/t}\| v\|_{L^\infty}^{1/t^2}.$$ Creo que tal $v\in L^\infty$ Sin embargo, no puedo avanzar más que esto. Agradeceré profundamente si alguien puede proporcionarme alguna ayuda.

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loganathan Puntos 730

Supongamos que $u\in C_0^\infty({\mathbb R}^N)$ , aplique la clásica desigualdad de Sobolev $$ \Big(\int_{{\mathbb R}^N} (u^t)^{\frac{N}{N-1}}\Big)^{\frac{N-1}{N}} \leq C\int_{{\mathbb R}^N} |\nabla(u^t)|, $$ y luego aplicar Holder en el lado derecho: $$ \int_{{\mathbb R}^N} |\nabla(u^t)|=t\int_{{\mathbb R}^N} |u^{t-1}\nabla u| \leq t\Big(\int_{{\mathbb R}^N} |u^{t-1}|^{\frac{N}{N-1}}\Big)^{\frac{N-1}{N}}\Big( \int_{{\mathbb R}^N} |\nabla u|^N\Big)^{\frac{1}{N}}, $$ así $$ \|u\|_{\frac{tN}{N-1}}^t\leq Ct\|u\|_{\frac{(t-1)N}{N-1}}^{t-1}\cdot \|\nabla u\|_N. $$ Toma $\frac 1t$ poder.

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