El pequeño teorema de Fermats, $p$ no es un número primo

Question

Calcular el resto $$ r \equiv 37^{877} \bmod{323} $$

No sé cómo seguir esto ya que $323$ no es un número primo.

Answer 1

$323=17\cdot19$

Ahora $37\equiv -1\pmod{19}\implies37^{877}\equiv(-1)^{877}\equiv-1\ \ \ \ (1)$

y $37\equiv3\pmod{17}\implies37^{877}\equiv3^{877}\pmod{17}$ y $877\equiv13\pmod{17-1}$

Utilizando el Pequeño Teorema de Fermat, $3^{877}\equiv3^{13}\pmod{17}$

$3^4\equiv-4\pmod{17}\implies3^{12}=(3^4)^3\equiv(-4)^3\equiv4$

$\implies3^{13}=3\cdot3^{12}\equiv3\cdot4\equiv12\pmod{17}\ \ \ \ (2)$

Ahora aplique CRT en $(1),(2)$