¿La prueba de Jordan-Hölder para módulos se extiende a grupos?

Question

El libro [Auslander, Reiten - Teoría de representación de álgebras de Artin] comienza con el teorema de Jordan-Hölder para módulos de longitud finita sobre anillos arbitrarios. La demostración probablemente sea bastante estándar - aquí está la idea:

Define la longitud de un módulo $M$ y las multiplicidades de sus factores de composición como longitud mínima y multiplicidades mínimas sobre todas las series de composición (generalizadas). Luego muestra que estas funciones son aditivas con respecto a secuencias cortas exactas. El teorema de Jordan-Hölder ahora sigue fácilmente por inducción sobre la longitud de $M:

Para $l(M) \leq 1$ la afirmación se cumple claramente. Si $l(M) \geq 2$ hay un submódulo $0 \lneq U \lneq M$. Cualquier serie de composición (generalizada) de $M$ se divide en una serie de composición (generalizada) de $U$ y de $M/U$. Por hipótesis de inducción, esas secuencias cumplen la afirmación, es decir, tienen longitud $l(U)$ y $l(M/U)$, respectivamente, y ciertas multiplicidades de factores definidas por $U$ y $M/U$. Por la aditividad de la función de longitud y las funciones de multiplicidad demostradas antes, la afirmación también se cumple para la serie de composición elegida de $M$.

Me pregunto si esta demostración se puede adoptar textualmente para demostrar el teorema de Jordan-Hölder para grupos. A primera vista, no veo ninguna razón por la cual esto no se pueda hacer. Sin embargo, no he visto esta demostración en ninguna fuente relacionada con grupos (generalmente, se usa en su lugar el lema de Zassenhaus).

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es que, sí, tienes razón. Aquí tienes algunos más detalles.

Sea $G$ un grupo. Definimos una serie de composición de $G$ como una secuencia de subgrupos $$\{ e \} = G_0 \triangleleft G_1 \triangleleft G_2 \triangleleft \cdots \triangleleft G_n = G$$ tal que cada cociente $G_{j+1}/G_j$ es simple; y definimos una serie de composición generalizada de manera similar donde permitimos que los factores sean simples o triviales. Obviamente, una serie de composición generalizada se puede convertir en una serie de composición colapsando las repeticiones.

Un grupo $G$ se dice que tiene longitud finita si tiene una serie de composición, en cuyo caso $\ell(G)$ es la longitud mínima de una serie de composición. Dado un grupo simple $\Gamma$ y una serie de composición generalizada $G_{\bullet}$ para un grupo $G$, definimos $m(\Gamma, G_{\bullet})$ como el número de índices $j$ tales que $\Gamma \cong G_{j+1}/G_j$. El teorema de Jordan-Holder establece que $m(\Gamma, G_{\bullet})$ depende solo del grupo $G$ y no de la serie de composición generalizada $G_{\bullet}$.

Sea $1 \to A \overset{\alpha}{\longrightarrow} B \overset{\beta}{\longrightarrow} C \to 1$ una secuencia corta exacta de grupos. La clave para la demostración que discutes (páginas dos y tres aquí) es tener recetas para traducir entre (1) pares de series de composición generalizada $(A_{\bullet}, C_{\bullet})$ en $A$ y $C$ y (2) series de composición generalizada $B_{\bullet}$ en $B$. Es decir:

Proposición 1: Sean $A_0 \triangleleft A_1 \triangleleft \cdots \triangleleft A_a$ y $C_0 \triangleleft C_1 \triangleleft \cdots \triangleleft C_c$ series de composición generalizada para $A$ y $C$. Entonces $$\{ e \} = \alpha(A_0) \triangleleft \alpha(A_1) \triangleleft \cdots \triangleleft \alpha(A_a) = \beta^{-1}(C_0) \triangleleft \beta^{-1}(C_1) \triangleleft \cdots \triangleleft \beta^{-1}(C_c) = B$$ es una serie de composición generalizada para $B$. Además, $\alpha(A_{j+1})/\alpha(A_j) \cong A_{j+1}/A_j$ y $\beta^{-1}(C_{j+1})/\beta^{-1}(C_j) \cong C_{j+1}/C_j$.

Proposición 2: Sean $B_0 \triangleleft B_1 \triangleleft \cdots \triangleleft B_b$ series de composición generalizada para $B$. Definimos $A_j = \alpha^{-1}(B_j)$ y $C_j = \beta(B_j)$. Entonces $A_{\bullet}$ y $C_{\bullet}$ son series de composición generalizada. Si $B_{j+1} = B_j$ entonces $A_{j+1} = A_j$ y $C_{j+1}=C_j$; si $B_{j+1}/B_j$ es simple, entonces exactamente uno de $A_{j+1}/A_j$ y $C_{j+1}/C_j$ es trivial y el otro es isomorfo a $B_{j+1}/B_j$.

Las demostraciones de estos resultados son ligeramente más difíciles para grupos que para módulos, porque necesitas verificar en cada paso que los subgrupos que se supone que son normales realmente lo son. Pero creo que siguen siendo ejercicios razonables.

Una vez que tienes esto, el resto de la demostración es exactamente la misma en ambos casos. Usando la Proposición 1, si $A$ y $C$ tienen longitud finita, entonces también la tiene $B$, y $\ell(B) \leq \ell(A)+\ell(C)$. Por lo tanto, podemos asumir por inducción que Jordan-Holder se conoce para $A$ y $C$ y deducirlo para $B$. Para cualquier grupo simple $\Gamma$ y cualquier serie de composición generalizada $B_{\bullet}$ de $B$, la Proposición 2 construye series de composición generalizada $A_{\bullet}$ y $C_{\bullet}$ con $m(\Gamma, B_{\bullet}) = m(\Gamma, A_{\bullet})+m(\Gamma, C_{\bullet})$. Dado que, por inducción, $m(\Gamma, A_{\bullet})$ y $m(\Gamma, C_{\bullet})$ dependen solo de $A$ y $C$, deducimos que $m(\Gamma, B_{\bullet})$ depende solo de $B$. $\square$.

¡Me gusta esta demostración! ¡Quizás la use la próxima vez que enseñe Jordan-Holder!